Кінетична енергія. Кінетична енергія спокою Енергія кінетична: формула та визначення

Розглянуті питання:

Загальні теореми динаміки механічної системи. Кінетична енергія: матеріальної точки, системи матеріальних точок, абсолютно твердого тіла (при поступальному, обертальному та плоскому русі). Теорема Кеніга. Робота сили: елементарна робота сил, що додаються до твердого тіла; на кінцевому переміщенні, сили тяжіння, сили тертя ковзання, сили пружності. Елементарна робота моменту сили. Потужність сили та пари сил. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки. Теорема про зміну кінетичної енергії змінних та незмінних механічних систем (диференціальний та інтегральний вигляд). Потенційне силове поле та його властивості. Еквіпотенційні поверхні. Потенційна функція. Потенціальна енергія. Закон збереження повної механічної енергії.

5.1 Кінетична енергія

а) матеріальної точки:

Визначення:Кінетичною енергією матеріальної точки називається половина добутку маси цієї точки на квадрат її швидкості:

Кінетична енергія є позитивною скалярною величиною.

У системі СІ одиницею вимірювання енергії є джоуль:

1 дж = 1 Н?м.

б) системи матеріальних точок:

Кінетична енергія системи матеріальних точок це сума кінетичних енергій усіх точок системи:

в) абсолютно твердого тіла:

1) за поступального руху.

Швидкості всіх точок однакові та рівні швидкості центру мас, тобто. тоді:

де М- маса тіла.

Кінетична енергія твердого тіла, що рухається поступально, дорівнює половині добутку маси тіла Мна квадрат його швидкості.

2) при обертальному русі.

Швидкості точок визначаються за формулою Ейлера:

Модуль швидкості:

Кінетична енергія тіла при обертальному русі:

де: z- Вісь обертання.

Кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює половині моменту інерції цього тіла щодо осі обертання на квадрат кутової швидкості тіла.

3) за плоского руху.

Швидкість будь-якої точки визначаються через полюс:

Плоский рух складається з поступального руху зі швидкістю полюса та обертального руху навколо цього полюса, тоді кінетична енергія складається з енергії поступального руху та енергії обертального руху.

Кінетична енергія через полюс "А" при плоскому русі:

Найкраще за полюс брати центр мас, тоді:

Це зручно тому, що моменти інерції щодо центру мас завжди відомі.

Кінетична енергія твердого тіла при плоско-паралельному рух складається з кінетичної енергії поступального руху разом з центром мас і кінетичної енергії від обертання навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас і перпендикулярної площини руху.

Часто зручно брати за полюс миттєвий центр швидкостей. Тоді:

З огляду на, що з визначення миттєвого центру швидкостей його швидкість дорівнює нулю, то .

Кінетична енергія щодо миттєвого центру швидкостей:

Необхідно пам'ятати, що для визначення моменту інерції щодо миттєвого центру швидкостей необхідно застосовувати формулу Гюйгенса – Штейнера:

Ця формула буває кращою у тих випадках, коли миттєвий центр швидкостей знаходиться на кінці стрижня.

4) Теорема Кеніга.

Припустимо, що механічна система разом із системою координат, що проходить через центр мас системи, рухається поступово щодо нерухомої системи координат. Тоді, на підставі теореми про складання швидкостей при складному русі точки, абсолютна швидкість довільної точки системи запишеться як векторна сума переносної та відносної швидкостей:

де: - Швидкість початку рухомої системи координат (переносна швидкість, тобто швидкість центру мас системи);

Швидкість точки щодо рухомої системи координат (відносна швидкість). Опускаючи проміжні викладки, отримаємо:

Ця рівність визначає теорему Кеніга.

Формулювання:Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичної енергії, яку мала б матеріальна точка, розташована в центрі мас системи та має масу, рівну масі системи, та кінетичній енергії руху системи щодо центру мас.

5.2Робота сил.

Основні теоретичні відомості

Механічна робота

Енергетичні характеристики руху вводяться з урахуванням поняття механічної роботи чи роботи сили. Роботою, що здійснюється постійною силою F, називається фізична величина, що дорівнює добутку модулів сили та переміщення, помноженому на косинус кута між векторами сили Fта переміщення S:

Робота є скалярною величиною. Вона може бути як позитивна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° робота, що здійснюється силою, дорівнює нулю. У системі СІ робота вимірюється у джоулях (Дж). Джоуль дорівнює роботі, що здійснюється силою в 1 ньютон на переміщенні 1 метр у напрямку дії сили.

Якщо ж сила змінюється з часом, то для знаходження роботи будують графік залежності сили від переміщення та знаходять площу фігури під графіком – це і є робота:

Прикладом сили, модуль якої залежить від координати (переміщення), може бути сила пружності пружини, що підкоряється закону Гука ( Fупр = kx).

Потужність

Робота сили, що здійснюється в одиницю часу, називається потужністю. Потужність P(іноді позначають буквою N) – фізична величина, що дорівнює відношенню роботи Aдо проміжку часу t, протягом якого здійснено цю роботу:

За цією формулою розраховується середня потужність, тобто. потужність узагальнено характеризує процес. Отже, роботу можна висловлювати і через потужність: A = Pt(якщо звичайно відома потужність та час виконання роботи). Одиниця потужності називається ват (Вт) або 1 джоуль за 1 секунду. Якщо рух рівномірний, то:

За цією формулою ми можемо розрахувати миттєву потужність(Потужність в даний момент часу), якщо замість швидкості підставимо формулу значення миттєвої швидкості. Як дізнатися, яку потужність рахувати? Якщо в завданні питають потужність у момент часу або в якійсь точці простору, вважається миттєва. Якщо запитують про потужність за якийсь проміжок часу чи ділянку шляху, то шукайте середню потужність.

ККД – коефіцієнт корисної дії, дорівнює відношенню корисної роботи до витраченої, або корисної потужності до витраченої:

Яка робота корисна, а яка витрачена визначається за умови конкретного завдання шляхом логічного міркування. Наприклад, якщо підйомний кран здійснює роботу з підйому вантажу на деяку висоту, то корисною буде робота з підняття вантажу (оскільки саме для неї створено кран), а витраченої – робота, виконана електродвигуном крана.

Отже, корисна і витрачена потужність немає суворого визначення, і є логічним міркуванням. У кожному завданні ми самі повинні визначити, що в цьому завданні було метою роботи (корисна робота або потужність), а що було механізмом або способом виконання всієї роботи (витрачена потужність або робота).

У випадку ККД показує, як ефективно механізм перетворює один вид енергії на інший. Якщо потужність з часом змінюється, то роботу знаходять як площу фігури під графіком залежності потужності від часу:

Кінетична енергія

Фізична величина, що дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості, називається кінетичною енергією тіла (енергією руху):

Тобто якщо автомобіль масою 2000 кг рухається зі швидкістю 10 м/с, то він має кінетичну енергію, що дорівнює Едо = 100 кДж і здатний здійснити роботу у 100 кДж. Ця енергія може перетворитися на теплову (при гальмуванні автомобіля нагрівається гума коліс, дорога та гальмівні диски) або може бути витрачена на деформацію автомобіля та тіла, з яким автомобіль зіткнувся (при аварії). При обчисленні кінетичної енергії немає значення куди рухається автомобіль, оскільки енергія, як і робота, величина скалярна.

Тіло має енергію, якщо здатне здійснити роботу.Наприклад, тіло, що рухається, володіє кінетичною енергією, тобто. енергією руху, і здатне виконувати роботу з деформації тіл або надання прискорення тілам, з якими відбудеться зіткнення.

Фізичний сенс кінетичної енергії: для того, щоб тіло, що спочиває, масою mпочало рухатися зі швидкістю vнеобхідно здійснити роботу, що дорівнює отриманому значенню кінетичної енергії. Якщо тіло масою mрухається зі швидкістю v, то для його зупинки необхідно здійснити роботу, що дорівнює його початковій кінетичній енергії. При гальмуванні кінетична енергія в основному (крім випадків зіткнення, коли енергія йде на деформації) «забирається» силою тертя.

Теорема про кінетичну енергію: робота рівнодіючої сили дорівнює зміні кінетичної енергії тіла:

Теорема про кінетичну енергію справедлива й у випадку, коли тіло рухається під впливом сили, що змінюється, напрям якої не збігається з напрямом переміщення. Застосовувати цю теорему зручно у завданнях на розгін та гальмування тіла.

Потенціальна енергія

Поряд із кінетичною енергією чи енергією руху у фізиці важливу роль відіграє поняття потенційної енергії або енергії взаємодії тіл.

Потенційна енергія визначається взаємним положенням тіл (наприклад, положенням тіла щодо Землі). Поняття потенційної енергії можна ввести тільки для сил, робота яких не залежить від траєкторії руху тіла та визначається лише початковим та кінцевим положеннями (так звані консервативні сили). Робота таких сил на замкнутій траєкторії дорівнює нулю. Таку властивість мають сила тяжкості і сила пружності. Для цих сил можна запровадити поняття потенційної енергії.

Потенційна енергія тіла у полі сили тяжіння Землірозраховується за формулою:

Фізичний зміст потенційної енергії тіла: потенційна енергія дорівнює роботі, яку здійснює сила тяжіння при опусканні тіла на нульовий рівень ( h- Відстань від центру тяжкості тіла до нульового рівня). Якщо тіло має потенційну енергію, значить воно здатне здійснити роботу при падінні цього тіла з висоти hдо нульового рівня. Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенційної енергії тіла, взятій із протилежним знаком:

Часто в завданнях на енергію доводиться знаходити роботу з підняття (перевертання, доставлення з ями) тіла. У всіх цих випадках слід розглядати переміщення не самого тіла, а лише його центру тяжкості.

Потенційна енергія Ep залежить від вибору нульового рівня, тобто від початку координат осі OY. У кожному завданні нульовий рівень вибирається з міркувань зручності. Фізичний сенс має сама потенційна енергія, та її зміна при переміщенні тіла з одного становища до іншого. Ця зміна залежить від вибору нульового рівня.

Потенційна енергія розтягнутої пружинирозраховується за формулою:

де: k- Жорсткість пружини. Розтягнута (або стиснута) пружина здатна надати руху прикріплене до неї тіло, тобто повідомити це тіло кінетичну енергію. Отже, така пружина має запас енергії. Розтягування або стиск хтреба розраховувати від недеформованого стану тіла.

Потенційна енергія пружно деформованого тіла дорівнює роботі сили пружності при переході з цього стану до стану з нульовою деформацією. Якщо в початковому стані пружина вже була деформована, а її подовження дорівнювало x 1 тоді при переході в новий стан з подовженням x 2 сила пружності зробить роботу, рівну зміні потенційної енергії, взятому з протилежним знаком (оскільки сила пружності завжди спрямована проти деформації тіла):

Потенційна енергія за пружної деформації – це енергія взаємодії окремих частин тіла між собою силами пружності.

Робота сили тертя залежить від пройденого шляху (такий вид сил, чия робота залежить від траєкторії та пройденого шляху називається: дисипативні сили). Поняття потенційної енергії для сили тертя не можна вводити.

Коефіцієнт корисної дії

Коефіцієнт корисної дії (ККД)– характеристика ефективності системи (пристрою, машини) щодо перетворення чи передачі енергії. Він визначається ставленням корисно використаної енергії до сумарної кількості енергії, одержаної системою (формула вже наведена вище).

ККД можна розраховувати як через роботу, так і через потужність. Корисна та витрачена робота (потужність) завжди визначаються шляхом простих логічних міркувань.

В електричних двигунах ККД - відношення механічної роботи, що здійснюється (корисної) до електричної енергії, одержуваної від джерела. У теплових двигунах – відношення корисної механічної роботи до кількості теплоти, що витрачається. В електричних трансформаторах - відношення електромагнітної енергії, що отримується у вторинній обмотці, до енергії, що споживається первинною обмоткою.

У силу своєї спільності поняття ККД дозволяє порівнювати та оцінювати з єдиної точки зору такі різні системи, як атомні реактори, електричні генератори та двигуни, теплоенергетичні установки, напівпровідникові прилади, біологічні об'єкти тощо.

Через неминучі втрати енергії на тертя, на нагрівання навколишніх тіл і т.п. ККД завжди менше одиниці.Відповідно до цього ККД виражається в частках енергії, що витрачається, тобто у вигляді правильного дробу або у відсотках, і є безрозмірною величиною. ККД характеризує як ефективно працює машина чи механізм. ККД теплових електростанцій досягає 35–40%, двигунів внутрішнього згоряння з наддувом та попереднім охолодженням – 40–50%, динамомашин та генераторів великої потужності – 95%, трансформаторів – 98%.

Завдання, в якому потрібно знайти ККД або він відомий, треба почати з логічного міркування – яка робота є корисною, а яка є витраченою.

Закон збереження механічної енергії

Повна механічна енергіяназивається сума кінетичної енергії (тобто енергії руху) та потенційної (тобто енергії взаємодії тіл силами тяжіння та пружності):

Якщо механічна енергія не перетворюється на інші форми, наприклад, у внутрішню (теплову) енергію, то сума кінетичної і потенційної енергії залишається незмінною. Якщо ж механічна енергія переходить у теплову, то зміна механічної енергії дорівнює роботі сили тертя або втрат енергії, або кількості тепла, що виділилося і так далі, тобто зміна повної механічної енергії дорівнює роботі зовнішніх сил:

Сума кінетичної та потенційної енергії тіл, що становлять замкнуту систему (тобто таку в якій не діє зовнішніх сил, та їх робота відповідно дорівнює нулю) та взаємодіючих між собою силами тяжіння та силами пружності, залишається незмінною:

Це твердження висловлює закон збереження енергії (ЗСЕ) у механічних процесах. Він є наслідком законів Ньютона. Закон збереження механічної енергії виконується лише тоді, коли тіла у замкнутій системі взаємодіють між собою силами пружності та тяжіння. У всіх завданнях на закон збереження енергії завжди буде щонайменше два стани системи тіл. Закон свідчить, що сумарна енергія першого стану дорівнюватиме сумарної енергії другого стану.

Алгоритм вирішення завдань на закон збереження енергії:

Знайти точки початкового та кінцевого положення тіла.
Записати який або якими енергіями має тіло в даних точках.
Прирівняти початкову та кінцеву енергію тіла.
Додати інші необхідні рівняння з попередніх тем із фізики.
Розв'язати отримане рівняння чи систему рівнянь математичними методами.

Важливо відзначити, що закон збереження механічної енергії дозволив отримати зв'язок між координатами та швидкостями тіла у двох різних точках траєкторії без аналізу закону руху тіла у всіх проміжних точках. Застосування закону збереження механічної енергії може значною мірою спростити вирішення багатьох завдань.

У реальних умовах практично завжди на тіла, що рухаються, поряд з силами тяжіння, силами пружності та іншими силами діють сили тертя або сили опору середовища. Робота сили тертя залежить від довжини шляху.

Якщо між тілами, що становлять замкнуту систему, діють сили тертя, то механічна енергія не зберігається. Частина механічної енергії перетворюється на внутрішню енергію тіл (нагрівання). Отже енергія загалом (тобто. як механічна) у разі зберігається.

За будь-яких фізичних взаємодій енергія не виникає і не зникає. Вона лише перетворюється з однієї форми на іншу. Цей експериментально встановлений факт висловлює фундаментальний закон природи. закон збереження та перетворення енергії.

Одним із наслідків закону збереження та перетворення енергії є твердження про неможливість створення «вічного двигуна» (perpetuum mobile) – машини, яка могла б невизначено довго виконувати роботу, не витрачаючи при цьому енергії.

Різні завдання на роботу

Якщо завдання потрібно знайти механічну роботу, то спочатку виберіть спосіб її знаходження:

Роботу можна знайти за формулою: A = FS∙cos α . Знайдіть силу, яка здійснює роботу, і величину переміщення тіла під дією цієї сили у вибраній системі відліку. Зверніть увагу, що кут має бути вибраний між векторами сили та переміщення.
Роботу зовнішньої сили можна знайти як різницю механічної енергії в кінцевій і початковій ситуаціях. Механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії тіла.
Роботу з підйому тіла з постійною швидкістю можна знайти за формулою: A = mgh, де h- Висота, на яку піднімається центр тяжкості тіла.
Роботу можна визначити як добуток потужності тимчасово, тобто. за формулою: A = Pt.
Роботу можна знайти як площа фігури під графіком залежності сили від переміщення або потужності від часу.

Закон збереження енергії та динаміка обертального руху

Завдання цієї теми є досить складними математично, але при знанні підходу вирішуються за стандартним алгоритмом. У всіх завданнях Вам доведеться розглядати обертання тіла у вертикальній площині. Рішення зводитиметься до наступної послідовності дій:

Треба визначити точку, що цікавить Вас (ту точку, в якій необхідно визначити швидкість тіла, силу натягу нитки, вага і так далі).
Записати в цій точці другий закон Ньютона, враховуючи, що тіло обертається, тобто у нього є доцентрове прискорення.
Записати закон збереження механічної енергії так, щоб у ньому була присутня швидкість тіла в тій найцікавішій точці, а також характеристики стану тіла в якомусь стані, про яке щось відомо.
Залежно від умови виразити швидкість у квадраті з одного рівняння та підставити в інше.
Провести решту необхідних математичних операцій для отримання остаточного результату.

При вирішенні завдань слід пам'ятати, що:

Умова проходження верхньої точки при обертанні на нитці з мінімальною швидкістю – сила реакції опори Nу верхній точці дорівнює 0. Така сама умова виконується при проходженні верхньої точки мертвої петлі.
При обертанні на стрижні умова проходження всього кола: мінімальна швидкість у верхній точці дорівнює 0.
Умова відриву тіла від поверхні сфери – сила реакції опори у точці відриву дорівнює нулю.

Непружні зіткнення

Закон збереження механічної енергії та закон збереження імпульсу дозволяють знаходити рішення механічних завдань у тих випадках, коли невідомі чинні сили. Прикладом таких завдань є ударне взаємодія тіл.

Ударом (або зіткненням)прийнято називати короткочасну взаємодію тіл, внаслідок якої їх швидкості зазнають значних змін. Під час зіткнення тіл між ними діють короткочасні ударні сили, величина яких зазвичай невідома. Тому не можна розглядати ударну взаємодію безпосередньо за допомогою законів Ньютона. Застосування законів збереження енергії та імпульсу у багатьох випадках дозволяє виключити з розгляду сам процес зіткнення та отримати зв'язок між швидкостями тіл до та після зіткнення, минаючи всі проміжні значення цих величин.

З ударним взаємодією тіл часто доводиться мати справу повсякденному житті, у техніці й у фізиці (особливо у фізиці атома і елементарних частинок). У механіці часто використовуються дві моделі ударної взаємодії. абсолютно пружний і абсолютно непружний удари.

Абсолютно непружним ударомназивають таку ударну взаємодію, при якій тіла з'єднуються (злипаються) один з одним і рухаються далі як одне тіло.

При абсолютно непружному ударі механічна енергія не зберігається. Вона частково чи повністю перетворюється на внутрішню енергію тіл (нагрівання). Для опису будь-яких ударів Вам потрібно записати і закон збереження імпульсу, і закон збереження механічної енергії з урахуванням теплоти, що виділяється (попередньо вкрай бажано зробити малюнок).

Абсолютно пружний удар

Абсолютно пружним ударомназивається зіткнення, у якому зберігається механічна енергія системи тел. У багатьох випадках зіткнення атомів, молекул та елементарних частинок підкоряються законам абсолютно пружного удару. При абсолютно пружному ударі поряд із законом збереження імпульсу виконується закон збереження механічної енергії. Простим прикладом абсолютно пружного зіткнення може бути центральний удар двох більярдних куль, одна з яких до зіткнення перебувала у стані спокою.

Центральним ударомкуль називають зіткнення, при якому швидкості куль до і після удару спрямовані по лінії центрів. Таким чином, використовуючи закони збереження механічної енергії та імпульсу, можна визначити швидкості куль після зіткнення, якщо відомі їх швидкості до зіткнення. Центральний удар дуже рідко реалізується практично, особливо якщо йдеться про зіткнення атомів чи молекул. При нецентральному пружному зіткненні швидкості частинок (куль) до і після зіткнення не спрямовані по одній прямій.

Приватним випадком нецентрального пружного удару може служити зіткнення двох більярдних куль однакової маси, один з яких до зіткнення був нерухомий, а швидкість другого була спрямована не по лінії центрів куль. В цьому випадку вектори швидкостей куль після пружного зіткнення завжди спрямовані перпендикулярно один до одного.

Закони збереження. Складні завдання

Декілька тіл

У деяких завданнях на закон збереження енергії троси за допомогою яких переміщуються деякі об'єкти можуть мати масу (тобто не бути невагомими, як Ви вже могли звикнути). В цьому випадку роботу з переміщення таких тросів (а саме їх центрів тяжкості) також слід враховувати.

Якщо два тіла, з'єднані невагомим стрижнем, обертаються у вертикальній площині, то:

вибирають нульовий рівень для розрахунку потенційної енергії, наприклад на рівні осі обертання або на рівні найнижчої точки знаходження одного з вантажів і обов'язково роблять креслення;
записують закон збереження механічної енергії, в якому в лівій частині записують суму кінетичної та потенційної енергії обох тіл у початковій ситуації, а в правій частині записують суму кінетичної та потенційної енергії обох тіл у кінцевій ситуації;
враховують, що кутові швидкості тіл однакові, тоді лінійні швидкості тіл пропорційні радіусам обертання;
за необхідності записують другий закон Ньютона кожному за тіл окремо.

Розрив снаряду

У разі розриву снаряда виділяється енергія вибухових речовин. Щоб знайти цю енергію треба від суми механічних енергій осколків після вибуху відібрати механічну енергію снаряда до вибуху. Також будемо використовувати закон збереження імпульсу, записаний у вигляді теореми косінусів (векторний метод) або у вигляді проекцій на вибрані осі.

Зіткнення з тяжкою плитою

Нехай назустріч важкій плиті, що рухається зі швидкістю v, рухається легка кулька масою mзі швидкістю uн. Так як імпульс кульки набагато менше імпульсу плити, то після удару швидкість плити не зміниться, і вона продовжуватиме рух з тією ж швидкістю і в тому ж напрямку. В результаті пружного удару кулька відлетить від плити. Тут важливо зрозуміти, що не зміниться швидкість кульки щодо плити. У такому разі, для кінцевої швидкості кульки отримаємо:

Таким чином, швидкість кульки після удару збільшується на подвоєну швидкість стіни. Аналогічний міркування для випадку, коли до удару кулька і плита рухалися в одному напрямку, призводить до результату згідно з яким швидкість кульки зменшується на подвійну швидкість стіни:

Завдання про максимальні та мінімальні значення енергії куль, що стикаються

У завданнях такого типу головне зрозуміти, що потенційна енергія пружної деформації куль максимальна, якщо кінетична енергія їхнього руху мінімальна – це випливає із закону збереження механічної енергії. Сума кінетичних енергій куль мінімальна в той момент, коли швидкості куль будуть однакові за величиною та направлені в одному напрямку. У цей момент відносна швидкість куль дорівнює нулю, а деформація та пов'язана з нею потенційна енергія максимальна.

назад
Вперед

Як успішно підготуватися до ЦТ з фізики та математики?

Для того щоб успішно підготуватися до ЦТ з фізики та математики, серед іншого, необхідно виконати три найважливіші умови:

Вивчити всі теми та виконати всі тести та завдання наведені у навчальних матеріалах на цьому сайті. Для цього потрібно всього нічого, а саме: присвячувати підготовці до ЦТ з фізики та математики, вивченню теорії та вирішенню завдань по три-чотири години щодня. Справа в тому, що ЦТ це іспит, де мало просто знати фізику чи математику, потрібно ще вміти швидко і без збоїв вирішувати велику кількість завдань з різних тем та різної складності. Останньому навчитися можна лише вирішивши тисячі завдань.
Вивчити всі формули та закони у фізиці, і формули та методи в математиці . Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул із фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без труднощів вирішити в потрібний момент більшу частину ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати лише над найскладнішими завданнями.
Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб вирішувати обидва варіанти. Знову ж таки на ЦТ, крім уміння швидко та якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, не переплутавши ні номера відповідей та завдань, ні власне прізвище. Також у ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань у завданнях, що на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.

Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів, а також відповідальне опрацювання підсумкових тренувальних тестів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результат, максимальний з того, на що Ви здатні.

Знайшли помилку?

Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку в навчальних матеріалах, напишіть, будь ласка, про неї на електронну пошту (). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.

А4. Які зміни відзначає людина у звуку зі збільшенням частоти коливань у звуковий хвилі?
1) Підвищення висоти тону
2) Зниження висоти тону
3) Збільшення гучності
4) Зменшення гучності

А5. Відстань від двох когерентних джерел хвиль до точки М рівні а та b. Різниця фаз коливань джерел дорівнює нулю, довжина хвилі дорівнює l. Якщо випромінює лише одне джерело хвиль, то амплітуда коливань частинок середовища в точці М дорівнює А1, якщо друге, то – А2. Якщо різниця ходу хвиль a – b =3l/2 , то точці М амплітуда сумарного коливання частинок середовища
1) дорівнює нулю 2) дорівнює | А1 - А2 | 3) дорівнює | А1 + А2 |
4) змінюється згодом періодично

А6. Виберіть правильне затвердження.
А. Маючи експерименти Фарадея з вивчення електромагнітної індукції, Максвелл теоретично передбачив існування електромагнітних хвиль.
В. Спираючись на теоретичні прогнози Максвелла, Герц виявив електромагнітні хвилі експериментально.
С. Спираючись на експерименти Герца з дослідження електромагнітних хвиль, Максвелл створив теорію їхнього поширення у вакуумі.
1) Тільки А і В 2) Тільки А і С 3) Тільки В і С 4) І А, і В, і С

А7. Яке твердження вірне?
Теоретично електромагнітного поля Максвелла
А – змінне електричне поле породжує вихрове магнітне поле
Б – змінне магнітне поле породжує вихрове електричне поле

А8. В одній науковій лабораторії для прискорення заряджених частинок використовується лінійний прискорювач, а в другій – циклотрон, у якому частки розганяються, рухаючись спіралеподібною траєкторією. У якій із лабораторій слід врахувати можливість виникнення небезпечних людини електромагнітних випромінювань.
1) Тільки у першій 2) Тільки у другій 3) В обох лабораторіях
4) У жодній з лабораторій

А9. Яке твердження правильне?
Випромінювання електромагнітних хвиль відбувається при
А – рух електрона в лінійному прискорювачі
Б - коливальний рух електронів в антені
1) Тільки А 2) Тільки Б 3) І А, і Б 4) Ні А, ні Б

А10. Заряджена частка не випромінює електромагнітні хвилі у вакуумі
1) рівномірному прямолінійному русі
2) рівномірному русі по колу
3) коливальному русі
4) будь-якому русі з прискоренням

А11. Швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль
1) має максимальне значення у вакуумі
2) має максимальне значення у діелектриках
3) має максимальне значення у металах
4) однакова у будь-яких середовищах

А12. У перших експериментах з вивчення поширення електромагнітних хвиль у повітрі були виміряні довжина хвилі см та частота випромінювання МГц. На основі цих неточних експериментів було отримано значення швидкості світла в повітрі, що дорівнює приблизно
1) 100000 км/с 2) 200000 км/с 3) 250000 км/с 4) 300000 км/с

А13. Коливання електричного поля електромагнітної хвилі описуються рівнянням: Е=10sin(107t). Визначте частоту коливань (Гц).
1) 107 2) 1,6 * 106 3) (107 t) 4) 10

А14. При поширенні електромагнітної хвилі у вакуумі
1) відбувається лише перенесення енергії
2) відбувається лише перенесення імпульсу
3) відбувається перенесення і енергії, та імпульсу
4) не відбувається перенесення ні енергії, ні імпульсу

А15. При проходженні електромагнітної хвилі у повітрі відбуваються коливання
1) молекул повітря
2) щільність повітря
3) напруженості електричного та індукції магнітного полів
4) концентрації кисню

А16. Явищем, що доводить, що в електромагнітній хвилі вектор напруженості електричного поля коливається в напрямку, перпендикулярному до напряму поширення електромагнітної хвилі, є
1) інтерференція 2) відображення 3) поляризація 4) дифракція

А17. Вкажіть поєднання параметрів електромагнітної хвилі, які змінюються при переході хвилі з повітря в скло
1) швидкість та довжина хвилі 2) частота та швидкість
3) довжина хвилі та частота 4) амплітуда та частота

А18. Яке явище характерне для електромагнітних хвиль, але не є загальною властивістю хвиль будь-якої природи?
1) інтерференція 2) заломлення 3) поляризація 4) дифракція

А19. На яку довжину хвилі потрібно налаштувати радіо, щоб слухати радіостанцію «Європа+», яка мовить на частоті 106,2 МГц?
1) 2,825 дм 2) 2,825 см 3) 2,825 км 4) 2,825 м

А20. Амплітудна модуляція високочастотних електромагнітних коливань в радіопередавачі використовується для
1) збільшення потужності радіостанції
2) зміни амплітуди високочастотних коливань
3) зміни амплітуди коливань звукової частоти
4) завдання певної частоти випромінювання даної радіостанції

Повсякденний досвід показує, що нерухомі тіла можна надати руху, а рухомі зупинити. Ми з вами постійно щось робимо, світ навколо метушиться, світить сонце... Але звідки в людини, тварин та й у природи загалом беруться сили для виконання цієї роботи? Чи зникає безслідно? Чи почне рухатись одне тіло без зміни руху іншого? Про все це ми розповімо у нашій статті.

Поняття енергії

Для роботи двигунів, які надають рух автомобілям, тракторам, тепловозам, літакам, потрібне паливо, яке є джерелом енергії. Електродвигуни надають рух верстатам за допомогою електроенергії. За рахунок енергії води, що падає з висоти, обертаються гідротурбіни, з'єднані з електричними машинами, що виробляють електричний струм. Людині для того, щоб існувати та працювати, також потрібна енергія. Кажуть, що для того, щоб виконувати якусь роботу, потрібна енергія. Що таке енергія?

Спостереження 1. Піднімемо над землею м'яч. Поки він перебуває у стані спокою, механічна робота не виконується. Відпустимо його. Під дією сили тяжіння м'яч падає на землю із певної висоти. Під час падіння м'яча виконується механічна робота.
Спостереження 2. Зімкнемо пружину, зафіксуємо її ниткою і поставимо на пружину гирку. Підпалимо нитку, пружина випрямиться і підніме гирку на якусь висоту. Пружина виконала механічну роботу.
Спостереження 3. На візок закріпимо стрижень із блоком наприкінці. Через блок перекинемо нитку, один кінець якої намотаний на вісь візка, а на іншому висить грузик. Відпустимо грузик. Під дією він опускатиметься донизу і додасть візку рух. Грузик виконав механічну роботу.

Після аналізу всіх перерахованих вище спостережень можна дійти невтішного висновку, що й тіло чи кілька тіл під час взаємодії виконують механічну роботу, то кажуть, що вони мають механічну енергію, чи енергію.

Поняття енергії

Енергія (від грец. слова енергія- Діяльність) - це фізична величина, яка характеризує здатність тіл виконувати роботу. Одиницею енергії, а також роботи в системі СІ є один Джоуль (1 Дж). На листі енергія позначається буквою Е. З вищевказаних експериментів видно, що тіло виконує роботу тоді, коли переходить із одного стану до іншого. Енергія тіла при цьому змінюється (зменшується), а виконана тілом механічна робота дорівнює результату зміни її механічної енергії.

Види механічної енергії. Поняття потенційної енергії

Розрізняють 2 види механічної енергії: потенційну та кінетичну. Нині докладніше розглянемо потенційну енергію.

Потенційна енергія (ПЕ) - що визначається взаємним становищем тіл, які взаємодіють, чи частинами тієї самої тіла. Оскільки будь-яке тіло і земля притягують одне одного, тобто взаємодіють, ПЕ тіла, піднятого над землею, залежатиме від висоти підняття h. Чим вище піднято тіло, тим більше його ПЕ. Експериментально встановлено, що ПЕ залежить як від висоти, яку воно піднято, а й від маси тіла. Якщо тіла були підняті на однакову висоту, то тіло, що має більшу масу, матиме й більшу ПЕ. Формула даної енергії виглядає так: E п = mgh,де E п- це потенційна енергія, m- Маса тіла, g = 9,81 Н / кг, h - Висота.

Потенційна енергія пружини

Тіла називають фізичну величину E п,яка за зміни швидкості поступального руху під дією зменшується рівно стільки, скільки зростає кінетична енергія. Пружини (як і інші пружно деформовані тіла) мають таку ПЕ, яка дорівнює половині добутку їх жорсткості kна квадрат деформації: x = kx 2:2.

Енергія кінетична: формула та визначення

Іноді значення механічної роботи можна розглядати без застосування понять сили та переміщення, акцентувавши увагу на тому, що робота характеризує зміну енергії тіла. Все, що нам може знадобитися, - це маса якогось тіла та його початкова та кінцева швидкості, що призведе нас до кінетичної енергії. Кінетична енергія (КЕ) – це енергія, що належить тілу внаслідок власного руху.

Кінетичну енергію має вітер, її використовують для надання руху вітряним двигунам. Двигуни чинять тиск на похилі площини крил вітряних двигунів і змушують їх обертатися. Обертальний рух за допомогою систем передач передається механізмам, що виконують певну роботу. Руха вода, що обертає турбіни електростанції, втрачає частину своєї КЕ, виконуючи роботу. Літак, що летить високо в небі, крім ПЕ, має КЕ. Якщо тіло перебуває у стані спокою, тобто його швидкість щодо Землі дорівнює нулю, то його КЕ щодо Землі дорівнює нулю. Експериментально встановлено, що чим більша маса тіла та швидкість, з якою воно рухається, тим більша його КЕ. Формула кінетичної енергії поступального руху в математичному вираженні:

Де До- кінетична енергія, m- маса тіла, v- Швидкість.

Зміна кінетичної енергії

Оскільки швидкість руху тіла є величиною, яка залежить від вибору системи відліку, значення КЕ тіла також залежить від її вибору. Зміна кінетичної енергії (ІКЕ) тіла відбувається внаслідок дії на тіло зовнішньої сили F. Фізичну величину А, яка дорівнює ІКЕ ΔЕ дотіла внаслідок дії на нього сили F називають роботою: А = ΔЕ до. Якщо на тіло, що рухається зі швидкістю v 1 , діє сила F, що збігається з напрямком, швидкість руху тіла зросте за проміжок часу tдо деякого значення v 2 . При цьому ІКЕ одно:

Де m- маса тіла; d- пройдений шлях тіла; V f1 = (V 2 - V 1); V f2 = (V 2 + V 1); a = F: m. Саме за цією формулою обчислюється, на скільки змінюється кінетична енергія. Формула також може мати таку інтерпретацію: ΔЕ до = Flcos ά , де cosά є кутом між векторами сили Fта швидкості V.

Середня кінетична енергія

Кінетична енергія є енергією, що визначається швидкістю руху різних точок, які належать цій системі. Однак слід пам'ятати, що необхідно розрізняти 2 енергії, що характеризують різні поступальні та обертальні. (СКЕ) при цьому є середньою різницею між сукупністю енергій усієї системи та її енергією спокою, тобто, по суті, її величина – це середня величина потенційної енергії. Формула середньої кінетичної енергії наступна:

де k – це константа Больцмана; Т – температура. Саме це рівняння є основою молекулярно-кінетичної теорії.

Середня кінетична енергія молекул газу

Численними дослідами було встановлено, що середня кінетична енергія молекул газу в поступальному русі при заданій температурі та сама, і залежить від роду газу. Крім того, було встановлено також, що при нагріванні газу на 1 о С СКЕ збільшується на те саме значення. Сказати точніше, це значення одно: ΔЕ до = 2,07 х 10 -23 Дж/о С.Щоб обчислити, чому дорівнює середня кінетична енергія молекул газу в поступальному русі, необхідно, крім цієї відносної величини, знати ще хоча б одне абсолютне значення енергії поступального руху. У фізиці досить точно визначено ці значення для широкого спектра температур. Наприклад, при температурі t = 500 прокінетична енергія поступального руху молекули Ек = 1600 х 10 -23 Дж. Знаючи 2 величини ( ΔЕ до і Е к), ми можемо як обчислити енергію поступального руху молекул при заданій температурі, так і вирішити обернену задачу - визначити температуру за заданими значеннями енергії.

Насамкінець можна зробити висновок, що середня кінетична енергія молекул, формула якої наведена вище, залежить тільки від абсолютної температури (причому для будь-якого агрегатного стану речовин).

Закон збереження повної механічної енергії

Вивчення руху тіл під дією сили тяжкості та сил пружності показало, що існує певна фізична величина, яку називають потенційною енергією Е п; вона залежить від координат тіла, а її зміна дорівнює ІКЕ, яка взята з протилежним знаком: Δ Е п =-ΔЕ до.Отже, сума змін КЕ та ПЕ тіла, які взаємодіють з гравітаційними силами та силами пружності, дорівнює 0 : Δ Е п +ΔЕ до = 0.Сили, які залежать лише від координат тіла, називають консервативними.Сили тяжіння та пружності є консервативними силами. Сума кінетичної та потенційної енергій тіла є повною механічною енергією: Е п +Ек = Е.

Цей факт, який був доведений найточнішими експериментами,
називають законом збереження механічної енергії. Якщо тіла взаємодіють силами, які залежать від швидкості відносного руху, механічна енергія в системі тіл, що взаємодіють, не зберігається. Прикладом сил такого типу, що називаються неконсервативнимиє сили тертя. Якщо тіло діють сили тертя, то їх подолання необхідно витратити енергію, тобто її частина використовується виконання роботи проти сил тертя. Однак порушення закону збереження енергії тут лише уявне, тому що він є окремим випадком загального закону збереження та перетворення енергії. Енергія тіл ніколи не зникає і не з'являється знову:вона лише перетворюється з одного виду на інший. Цей закон природи дуже важливий, він виконується всюди. Його ще іноді називають загальним законом збереження та перетворення енергії.

Зв'язок між внутрішньою енергією тіла, кінетичною та потенційною енергіями

Внутрішня енергія (U) тіла – це його повна енергія тіла за вирахуванням КЕ тіла як цілого та його ПЕ у зовнішньому полі сил. З цього можна зробити висновок, що внутрішня енергія складається з КЕ хаотичного руху молекул, ПЕ взаємодії між ними та внутрішньомолекулярної енергії. Внутрішня енергія - це однозначна функція стану системи, що свідчить про наступному: якщо система перебуває у цьому стані, її внутрішня енергія набуває властиві йому значення, незалежно від цього, що відбувалося раніше.

Релятивізм

Коли швидкість тіла близька до швидкості світла, кінетичну енергію знаходять за такою формулою:

Кінетична енергія тіла, формула якої була написана вище, може також розраховуватися за таким принципом:

Приклади завдань щодо знаходження кінетичної енергії

1. Порівняйте кінетичну енергію кульки масою 9 г, що летить зі швидкістю 300 м/с, і людини масою 60 кг, що біжить зі швидкістю 18 км/год.

Отже, що нам дано: m 1 = 0,009 кг; V1 = 300 м/с; m 2 = 60 кг, V 2 = 5 м/с.

Рішення:

Енергія кінетична (формула): Е к = mv 2: 2.
Маємо всі дані для розрахунку, а тому знайдемо Є доі для людини, і для кульки.
Е к1 = (0,009 кг х (300 м / с) 2): 2 = 405 Дж;
Е к2 = (60 кг х (5 м / с) 2): 2 = 750 Дж.
Е к1< Е к2.

Відповідь: кінетична енергія кульки менша, ніж людини.

2. Тіло з масою 10 кг було піднято на висоту 10 м, після чого його відпустили. Яку КЕ воно матиме на висоті 5 м? Опір повітря дозволяється знехтувати.

Отже, що нам дано: m = 10 кг; h = 10 м; h 1 = 5 м; g = 9,81 Н/кг. Е к1 -?

Рішення:

Тіло певної маси, підняте якусь висоту, має потенційну енергію: E п = mgh. Якщо тіло падає, воно на деякій висоті h 1 матиме піт. енергію E п = mgh 1 та кін. енергію Е к1. Щоб була правильно знайдена кінетична енергія, формула, яка була наведена вище, не допоможе, а тому вирішимо задачу за нижченаведеним алгоритмом.
У цьому кроці використовуємо закон збереження енергії та запишемо: Е п1 +Е к1 = Еп.
Тоді Е к1 = Еп - Е п1 = mgh - mgh 1 = mg(h-h1).
Підставивши наші значення у формулу, отримаємо: Е к1 = 10 х 9,81 (10-5) = 490,5 Дж.

Відповідь: Е к1 = 490,5 Дж.

3. Маховик, який має масу mта радіус R,обертається навколо осі, що проходить через його центр. Кутова швидкість обертання маховика ω . Щоб зупинити маховик, до його обода притискають гальмівну колодку, що діє на нього з силою F тертя. Скільки обертів зробить маховик до зупинки? Врахувати, що маса маховика зосереджена по обіді.

Отже, що нам дано: m; R; ω; F тертя. N -?

Рішення:

При розв'язанні задачі вважатимемо обороти маховика подібними до оборотів тонкого однорідного обруча з радіусом. R та масою m, який обертається з кутовою швидкістю ω.
Кінетична енергія такого тіла дорівнює: Е до = (J ω 2) : 2, де J = m R 2 .
Маховик зупиниться за умови, що вся його КЕ витратиться на роботу з подолання сили тертя F тертя, виникає між гальмівною колодкою і ободом: Е к = F тертя *s , де 2 πRN = (m R 2 ω 2) : 2, звідки N = ( m ω 2 R) : (4 π F тр).

Відповідь: N = (mω 2 R) : (4πF тр).

На закінчення

Енергія – це найважливіша складова у всіх аспектах життя, адже без неї жодні тіла не змогли б виконувати роботу, у тому числі й людину. Думаємо, стаття вам чітко дала зрозуміти, що являє собою енергія, а розгорнутий виклад всіх аспектів однієї з її складових - кінетичної енергії - допоможе вам усвідомити багато процесів, що відбуваються на нашій планеті. А вже про те, як знайти кінетичну енергію, ви можете дізнатися з наведених вище формул та прикладів розв'язання задач.

Визначимо кінетичну енергію твердого тіла, що обертається довкола нерухомої осі. Розіб'ємо це тіло на n матеріальних точок. Кожна точка рухається з лінійною швидкістю υ i =ωr i тоді кінетична енергія точки

або

Повна кінетична енергія твердого тіла, що обертається, дорівнює сумі кінетичних енергій усіх його матеріальних точок:

(3.22)

(J – момент інерції тіла щодо осі обертання)

Якщо траєкторії всіх точок лежать у паралельних площинах (як у циліндра, що скочується з похилої площини, кожна точка переміщається у своїй площині рис), це плоский рух. Відповідно до принципу Ейлера плоский рух завжди можна незліченною кількістю способів розкласти на поступальний та обертальний рух. Якщо кулька падає або ковзає вздовж похилої площини, вона рухається лише поступово; коли ж кулька котиться - вона ще й обертається.

Якщо тіло здійснює поступальний і обертальний рух одночасно, то його повна кінетична енергія дорівнює

(3.23)

Зі зіставлення формул кінетичної енергії для поступального та обертального рухів видно, що мірою інертності при обертальному русі служить момент інерції тіла.

§ 3.6 Робота зовнішніх сил при обертанні твердого тіла

При обертанні твердого тіла його потенційна енергія не змінюється, тому елементарна робота зовнішніх сил дорівнює приросту кінетичної енергії тіла:

dA = dE або

Зважаючи на те, що Jβ = M, ωdr = dφ, маємо α тіла на кінцевий кут φ дорівнює

(3.25)

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі робота зовнішніх сил визначається дією моменту цих сил щодо цієї осі. Якщо момент сил щодо осі дорівнює нулю, ці сили роботи не виробляють.

Приклади розв'язання задач

приклад 2.1. Маховик масоюm=5кг та радіусомr= 0,2 м обертається навколо горизонтальної осі із частотоюν 0 =720 хв -1 і при гальмуванні зупиняється заt= 20 с. Знайти гальмуючий момент та кількість обертів до зупинки.

Для визначення гальмівного моменту застосуємо основне рівняння динаміки обертального руху

де I = mr 2 - момент інерції диска; Δω =ω - ω 0 , причому ω =0 кінцева кутова швидкість, ω 0 =2πν 0 - початкова. М - гальмуючий момент сил, що діють на диск.

Знаючи всі величини, можна визначити гальмуючий момент

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

З кінематики обертального руху кут повороту за час обертання диска до зупинки можна визначити за формулою

(3)

де β-кутове прискорення.

За умовою задачі: ω =ω 0 – βΔt, оскільки ω=0, ω 0 = βΔt

Тоді вираз (2) може бути записаний у вигляді:

приклад 2.2. Два маховики у вигляді дисків однакових радіусів і мас були розкручені до швидкості обертанняn= 480 об/хв та надали самим собі. Під дією сил тертя валів об підшипники перший зупинився черезt=80 с, а другий зробивN= 240 оборотів до зупинки. У якого і маховика момент сил тертя валів об підшипники був більшим і у скільки разів.

Момент сил терня М 1 першого маховика знайдемо, скориставшись основним рівнянням динаміки обертального руху

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

де Δt - час дії моменту сил тертя, I = mr 2 - момент інерції маховика, ω 1 = 2πν і ω 2 = 0 - початкова і кінцева кутові швидкості маховиків

Тоді

Момент сил тертя М 2 другого маховика виразимо через зв'язок між роботою А сил тертя та зміною його кінетичної енергії ΔE до:

де Δφ = 2πN – кут повороту, N - число обертів маховика.

Тоді, звідки

Про ставлення буде рівне

Момент сил тертя другого маховика у 1.33 рази більший.

приклад 2.3. Маса однорідного суцільного диска m, маси вантажів m 1 та m 2 (Рис.15). Ковзання та тертя нитки в осі циліндра немає. Знайти прискорення вантажів та відношення натягу ниткиу процесі руху.

Прослизання нитки немає, тому, коли m 1 і m 2 будуть здійснювати поступальний рух, циліндр здійснюватиме обертання щодо осі, що проходить через точку О. Покладемо для певності, що m 2 > m 1 .

Тоді вантаж m 2 опускається і циліндр обертається за годинниковою стрілкою. Запишемо рівняння руху тіл, що входять до системи

Перші два рівняння записані для тіл з масами m 1 і m 2 , що здійснюють поступальний рух, а третє рівняння - для циліндра, що обертається. У третьому рівнянні зліва стоїть сумарний момент сил, що діють на циліндр (момент сили T 1 взятий зі знаком мінус, оскільки сила T 1 прагне повернути циліндр проти годинникової стрілки). Праворуч I - момент інерції циліндра щодо осі О, який дорівнює

де R – радіус циліндра; β - кутове прискорення циліндра.

Так як прослизання нитки немає, то
. З урахуванням виразів для I та β отримаємо:

Складаючи рівняння системи, приходимо до рівняння

Звідси знаходимо прискорення aвантажів

З отриманого рівняння видно, що натягу ниток будуть однакові, тобто. =1, якщо маса циліндра буде набагато меншою від маси вантажів.

Приклад 2.4. Порожня куля масою m = 0,5 кг має зовнішній радіус R = 0,08м та внутрішній r = 0,06м. Куля обертається навколо осі, що проходить через центр. У певний момент на кулю починає діяти сила, внаслідок чого кут повороту кулі змінюється згідно із законом
. Визначити момент прикладеної сили.

Вирішуємо задачу, використовуючи основне рівняння динаміки обертального руху
. Основні труднощі – визначити момент інерції порожньої кулі, а кутове прискорення β знаходимо як
. Момент інерції I порожнистої кулі дорівнює різниці моментів інерції кулі радіусу R і кулі радіусу r:

де ρ – щільність матеріалу кулі. Знаходимо щільність, знаючи масу порожньої кулі

Звідси визначимо щільність матеріалу кулі

Для моменту сили M отримуємо такий вираз:

приклад 2.5. Тонкий стрижень масою 300г і довжиною 50см обертається з кутовою швидкістю 10с -1 у горизонтальній площині навколо вертикальної осі, що проходить через середину стрижня. Знайдіть кутову швидкість, якщо в процесі обертання у тій же площині стрижень переміститься так, що вісь обертання пройде через кінець стрижня.

Використовуємо закон збереження моменту імпульсу

(1)

(J i -момент інерції стрижня щодо осі обертання).

Для ізольованої системи тіл векторна сума моментів імпульсу залишається постійною. Внаслідок того, що розподіл маси стрижня щодо осі обертання змінюється момент інерції стрижня також змінюється відповідно до (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Відомо, що момент інерції стрижня щодо осі, яка проходить через центр мас і перпендикулярна до стрижня, дорівнює

J 0 = mℓ 2 /12. (3)

За теоремою Штейнера

J = J 0 + m а 2

(J-момент інерції стрижня щодо довільної осі обертання; J 0 - момент інерції щодо паралельної осі, що проходить через центр мас; а- Відстань від центру мас до обраної осі обертання).

Знайдемо момент інерції щодо осі, що проходить через його кінець і перпендикулярна до стрижня:

J 2 =J 0 +m а 2 , J 2 = mℓ 2 /12 + m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Підставимо формули (3) і (4) в (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10с-1/4=2,5с -1

Приклад 2.6 . Людина масоюm=60кг, що стоїть на краю платформи масою М=120кг, що обертається за інерцією навколо вертикальної нерухомої осі з частотою ν 1 = 12хв -1 , Переходить до її центру. Вважаючи платформу круглим однорідним диском, а людину – точковою масою, визначте, з якою частотою ν 2 тоді буде обертатися платформа.

Дано: m=60кг, М=120кг, ν 1 =12хв -1 = 0,2с -1 .

Знайти:ν 1

Рішення:Відповідно до умови завдання, платформа з людиною обертається за інерцією, тобто. результуючий момент всіх сил, прикладених до системи, що обертається, дорівнює нулю. Тому для системи «платформа-людина» виконується закон збереження моменту імпульсу

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

де
- момент інерції системи, коли людина стоїть на краю платформи (врахували, що момент інерції платформи дорівнює (R - радіус п
латформи), момент інерції людини на краю платформи дорівнює mR 2).

- момент інерції системи, коли людина стоїть у центрі платформи (врахували, що момент людини, яка стоїть у центрі платформи, дорівнює нулю). Кутова швидкість ω 1 = 2π ν 1 і ω 1 = 2π ν 2 .

Підставивши записані вирази у формулу (1), отримуємо

звідки частота обертання, що шукається

Відповідь: ν 2 = 24хв -1.