Це фізична величина, чисельно рівна відношенню потенційної енергії поля, укладеної в елементі обсягу, до цього обсягу. Для однорідного поля об'ємна густина енергії дорівнює. Для плоского конденсатора, об'єм якого Sd де S - площа пластин, d - відстань між пластинами, маємо

З урахуванням того, що

RC-ланцюг- електричний ланцюг, що складається з конденсатора та резистора. Вона буває диференціюючою та інтегруючою. Ось таке з'єднання резистора та конденсатора називається ланцюгом, що диференціюєабо ланцюгом, що вкорочує.

При подачі на вхід RC-ланцюга імпульсу напруги конденсатора відразу ж почне заряджатися струмом, що проходить через нього резистор. Спочатку струм буде максимальним, потім зі збільшенням заряду конденсатора поступово зменшиться до нуля по експоненті. Коли через резистор проходить струм, на ньому утворюється падіння напруги, яке визначається як U=i R, де i-струм заряду конденсатора. Оскільки струм змінюється експоненційно, то напруга змінюватиметься також - експоненційно від максимуму до нуля. Падіння напруги на резистори, якраз і є вихідним. Його величину можна визначити за формулою U вих = U 0 e -t/τ. Величина τ називається постійного часу ланцюгата відповідає зміні вихідної напруги на 63% від вихідної (e-1 = 0.37). Вочевидь, що час зміни вихідної напруги залежить від опору резистора і ємності конденсатора і, постійна часу ланцюга пропорційна цим значенням, тобто. τ = RC. Якщо ємність у Фарадах, опір в Омах, то в секундах.

Якщопоміняти місцями резистор та конденсатор, то отримаємо інтегруючий ланцюгабо подовжуючий ланцюг.

Вихідною напругою в інтегруючому ланцюзі є напруга на конденсаторі. Звичайно, якщо конденсатор розряджений, воно дорівнює нулю. При подачі імпульсу напруги на вхід ланцюга конденсатор почне накопичувати заряд, і накопичення відбуватиметься за експонентним законом, відповідно, і напруга на ньому наростатиме по експоненті від нуля до свого максимального значення. Його значення можна визначити за формулою U вих = U 0 (1 - e-t/τ). Постійна часу ланцюга визначається за такою ж формулою, як і для ланцюга, що диференціює, і має той же сенс.

Для обох ланцюгів резистор обмежує струм заряду конденсатора, тому що більше його опір, то більше вписувалося час заряду конденсатора. Також і для конденсатора, що більша ємність, то більший час він заряджається.

Електричний струм: види

Постійний струм

Постійним струмом називається електричний струм, який не змінюється у часі за напрямом. Джерелами постійного струму є гальванічні елементи, акумулятори та генератори постійного струму.

Змінний струм

Змінним називається електричний струм, величина та напрямок якого змінюються у часі. Область застосування змінного струму набагато ширша, ніж постійного. Це пояснюється тим, що напруга змінного струму можна легко знижувати або підвищувати за допомогою трансформатора практично в будь-яких межах. Змінний струм легко транспортувати на великі відстані.

Питання №1

Електричне поле.Для пояснення природи електричних взаємодій заряджених тіл необхідно допустити наявність у навколишньому заряді просторі фізичного агента, що здійснює цю взаємодію. Відповідно до теорією близькодії, що стверджує, що силові взаємодії між тілами здійснюються за допомогою особливого матеріального середовища, що оточує взаємодіючі тіла і передає будь-які зміни таких взаємодій у просторі з кінцевою швидкістю, таким агентом є електричне поле.

Електричне поле створюється як нерухомими, так і зарядами, що рухаються. Про наявність електричного поля можна судити, перш за все, за його здатністю надавати силову дію на електричні заряди, що рухаються і нерухомі, а також за здатністю індукувати електричні заряди на поверхні нейтральних тіл, що проводять.

Поле, яке створюється нерухомими електричними зарядами, називають стаціонарним електричним, або електростатичнимполем. Воно є окремим випадком електромагнітного поля, З допомогою якого здійснюються силові взаємодії між електрично зарядженими тілами, що рухаються в загальному випадку довільним чином щодо системи відліку.

Напруженість електричного поля.Кількісною характеристикою силової дії електричного поля на заряджені тіла є векторна величина E, звана напругою електричного поля.

E= F / qін.

Вона визначається ставленням сили F, що діє з боку поля на точковий пробний заряд qпр, поміщений у точку поля, що розглядається, до величини цього заряду.

Поняття «пробний заряд» передбачає, що цей заряд не бере участі у створенні електричного поля і такий малий, що не спотворює його, тобто не викликає перерозподілу в просторі зарядів, що створюють поле. У системі СІ одиницею напруженості служить 1 В/м, що еквівалентно 1 Н/Кл.

Напруженість поля точкового заряду.Використовуючи закон Кулона, знайдемо вираз для напруженості електричного поля, створюваного точковим зарядом. qв однорідному ізотропному середовищі на відстані rвід заряду:

У цій формулі r- Радіус-вектор, що з'єднує заряди qі qпр. З (1.2) випливає, що напруженість Eполя точкового заряду qу всіх точках поля спрямована радіально від заряду при q> 0 і до заряду при q< 0.

Принцип суперпозиції.Напруженість поля, створюваного системою нерухомих точкових зарядів q 1 , q 2 , q 3 , ¼, q n, дорівнює векторній сумі напруженостей електричних полів, створюваних кожним із цих зарядів окремо:
, де r i- Відстань між зарядом q iі точкою поля, що розглядається.

Принцип суперпозиції, дозволяє розраховувати як напруженість поля системи точкових зарядів, а й напруженість поля у системах, де має місце безперервний розподіл заряду. Заряд тіла можна подати як суму елементарних точкових зарядів d q.

При цьому, якщо заряд розподілено з лінійною щільністю t, то d q= td l; якщо заряд розподілений з поверхневою щільністю s, то d q= d lі d q= rd lякщо заряд розподілений з об'ємною щільністю r.

Питання №2

Потік вектор електричної індукції.Потік вектора електричної індукції визначається аналогічно до потоку вектора напруженості електричного поля

dF D = D d S

У визначеннях потоків помітна деяка неоднозначність, що з кожної поверхні можна задати дві нормалі протилежного напрями. Для замкнутої поверхні позитивною вважається зовнішня нормаль.

Теорема Гауса.Розглянемо точковий позитивний електричний заряд q, що знаходиться всередині замкнутої довільної поверхні S (рис. 1.3). Потік вектора індукції через елемент поверхні dS дорівнює

Що становить dS D = dS cosa елемента поверхні d Sу напрямку вектора індукції Dрозглядаємо як елемент сферичної поверхні радіусу r, у центрі якої розташований заряд q.

Враховуючи, що dS D / r 2 дорівнює елементарному тілесному куту dw, під яким з точки знаходження заряду q видно елемент поверхні dS, перетворюємо вираз (1.4) до виду dF D = q dw / 4p, звідки після інтегрування по всьому навколишнього заряду простору, тобто в межах тілесного кута від 0 до 4p, отримаємо

Потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми дорівнює заряду, укладеному в цій поверхні.

Якщо довільна замкнута поверхня S не охоплює точковий заряд q, то побудувавши конічну поверхню з вершиною в точці знаходження заряду, розділимо поверхню S на дві частини: S 1 і S 2 . Потік вектора Dчерез поверхню S знайдемо як суму алгебри потоків через поверхні S 1 і S 2:

.

Обидві поверхні з точки знаходження заряду видно під одним тілесним кутом w. Тому потоки рівні

Оскільки при обчисленні потоку через замкнуту поверхню використовується зовнішня нормаль до поверхні, легко бачити, що потік Ф 1D< 0, тогда как поток Ф 2D >0. Сумарний потік Ф D = 0. Це означає, що потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми не залежить від зарядів, розташованих поза цією поверхнею.

Якщо електричне поле створюється системою точкових зарядів q 1 , q 2 ,¼, q n , яка охоплюється замкнутою поверхнею S, то відповідно до принципу суперпозиції, потік вектора індукції через цю поверхню визначається як сума потоків, створюваних кожним із зарядів. Потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми дорівнює сумі алгебри зарядів, охоплених цією поверхнею:

Слід зазначити, що заряди q i не обов'язково мають бути точковими, необхідна умова- Заряджена область повинна повністю охоплюватися поверхнею. Якщо просторі, обмеженому замкнутої поверхнею S, електричний заряд розподілений безперервно, слід вважати, кожен елементарний обсяг dV має заряд . У цьому випадку в правій частині виразу алгебраїчне підсумовування зарядів замінюється інтегруванням за обсягом, укладеним усередині замкнутої поверхні S:

Цей вираз є найбільш загальним формулюванням теореми Гауса: потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми дорівнює сумарному заряду в обсязі, охопленому цією поверхнею, і не залежить від зарядів, розташованих поза розглянутою поверхнею .

Питання №3

Потенційна енергія заряду у електричному полі.Роботу, що здійснюється силами електричного поля при переміщенні позитивного точкового заряду qіз положення 1 у положення 2, представимо як зміну потенційної енергії цього заряду: , де Wп1 та Wп2 – потенційні енергії заряду qу положеннях 1 та 2. При малому переміщенні заряду qу полі, створюваному позитивним точковим зарядом Qзміна потенційної енергії дорівнює . При кінцевому переміщенні заряду qіз положення 1 до положення 2, що знаходяться на відстанях r 1 та r 2 від заряду Q, . Якщо поле створено системою точкових зарядів Q 1 ,Q 2 ,¼, Q n, то зміна потенційної енергії заряду qу цьому полі: . Наведені формули дозволяють знайти тільки змінапотенційної енергії точкового заряду q, а чи не саму потенційну енергію. Для визначення потенційної енергії необхідно домовитись, у якій точці поля вважати її рівною нулю. Для потенційної енергії точкового заряду q, що знаходиться в електричному полі, створеному іншим точковим зарядом Q, отримаємо

, де C- Довільна постійна. Нехай потенційна енергія дорівнює нулю на нескінченно великій відстані від заряду Q(при r® ¥), тоді постійна C= 0 і попередній вираз набуває вигляду. При цьому потенційна енергія визначається як робота переміщення заряду силами поля з цієї точки до нескінченно віддаленої.У разі електричного поля, створюваного системою точкових зарядів, потенційна енергія заряду q:

.

Потенційна енергія системи точкових набоїв.У разі електростатичного поля потенційна енергія є мірою взаємодії зарядів. Нехай у просторі існує система точкових зарядів Q i(i = 1, 2, ... , n). Енергій взаємодії всіх nзарядів визначиться співвідношенням, де r ij -відстань між відповідними зарядами, а підсумовування здійснюється таким чином, щоб взаємодія між кожною парою зарядів враховувалася один раз.

Потенціал електростатичного поля.Поле консервативної сили може бути описано не тільки векторною функцією, але еквівалентний опис цього поля можна отримати, визначивши в кожній його точці відповідну скалярну величину. Для електростатичного поля такою величиною є потенціал електростатичного поля, що визначається як відношення потенційної енергії пробного заряду qдо величини цього заряду, j = Wп / q, Звідки випливає, що потенціал чисельно дорівнює потенційній енергії, якою володіє в цій точці поля одиничний позитивний заряд. Одиницею виміру потенціалу служить Вольт (1 У).

Потенціал поля точкового зарядуQв однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю e: .

Принцип суперпозиції.Потенціал є скалярною функцією, для неї справедливий принцип суперпозиції. Так для потенціалу поля системи точкових зарядів Q 1, Q 2 ¼, Q nмаємо, де r i- відстань від точки поля, що має потенціал j, до заряду Q i. Якщо заряд довільним чином розподілено у просторі, то де r- Відстань від елементарного об'єму d x, d y, d zдо точки ( x, y, z), де визначається потенціал; V- Обсяг простору, в якому розподілений заряд.

Потенціал та робота сил електричного поля.Грунтуючись на визначенні потенціалу, можна показати, що робота сил електричного поля під час переміщення точкового заряду qз однієї точки поля в іншу дорівнює добутку величини цього заряду на різницю потенціалів у початковій та кінцевій точках шляху, A = q(J 1 - j 2).

Визначення зручно записати так:

Питання №4

Для встановлення зв'язку між силовою характеристикою електричного поля - напруженістюта його енергетичною характеристикою - потенціаломрозглянемо елементарну роботу сил електричного поля на нескінченно малому переміщенні точкового заряду q: d A = qE d l, ця ж робота дорівнює втраті потенційної енергії заряду q: d A = - d Wп = - q d де d - Зміна потенціалу електричного поля на довжині переміщення d l. Прирівнюючи праві частини виразів, отримуємо: E d l= -d або у декартовій системі координат

E x d x + E y d y + E z d z =-d, (1.8)

де E x,E y,E z- Проекції вектора напруженості на осі системи координат. Оскільки вираз (1.8) є повним диференціалом, то для проекцій вектора напруженості маємо

звідки.

Вираз, що стоїть у дужках градієнтомпотенціалу j, тобто.

E= - grad = -Ñ.

Напруженість у будь-якій точці електричного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому зі зворотним знаком. Знак "мінус" вказує, що напруженість Eспрямована у бік зменшення потенціалу.

Розглянемо електричне поле, яке створюється позитивним точковим зарядом q(Рис. 1.6). Потенціал поля у точці М, положення якої визначається радіус-вектором r, дорівнює = q/ 4pe 0 e r. Напрямок радіус-вектора rзбігається із напрямком вектора напруженості E, А градієнт потенціалу спрямований у протилежний бік. Проекція градієнта на напрямок радіус-вектора

. Проекція ж градієнта потенціалу на напрямок вектора t, перпендикулярного вектору r, дорівнює ,

тобто в цьому напрямку потенціал електричного поля є постійною величиною(= const).

У розглянутому випадку напрям вектора rзбігається з напрямком
силових ліній. Узагальнюючи отриманий результат, можна стверджувати, що у всіх точках кривої, ортогональній до силових ліній, потенціал електричного поля однаковий. Геометричним місцем точок з однаковим потенціалом є еквіпотенційна поверхня, ортогональна до силових ліній.

При графічному зображенні електричних полів часто використовують еквіпотенційні поверхні. Зазвичай еквіпотенціалі проводять таким чином, щоб різниця потенціалів між будь-якими двома еквіпотенційними поверхнями була однакова. Тут наведено двомірну картину електричного поля. Силові лінії показані суцільними лініями, еквіпотенціалі – штриховими.

Подібне зображення дозволяє сказати, в який бік спрямований вектор напруги електричного поля; де напруженість більша, де менша; куди почне рухатись електричний заряд, поміщений у ту чи іншу точку поля. Оскільки всі точки еквіпотенційної поверхні знаходяться при однаковому потенціалі, переміщення заряду вздовж неї не вимагає роботи. Це означає, що сила, що діє на заряд, постійно перпендикулярна до переміщення.

Питання №5

Якщо провіднику повідомити надлишковий заряд, цей заряд розподілиться по поверхні провідника. Дійсно, якщо всередині провідника виділити довільну замкнуту поверхню S, то потік вектора напруженості електричного поля через цю поверхню повинен дорівнювати нулю. В іншому випадку всередині провідника існуватиме електричне поле, що призведе до переміщення зарядів. Отже, для того, щоб виконувалася умова

Сумарний електричний заряд усередині цієї довільної поверхні повинен дорівнювати нулю.

Напруженість електричного поля поблизу поверхні зарядженого провідника можна визначити за допомогою теореми Гауса. Для цього виділимо на поверхні провідника малу довільну площадку d Sі, вважаючи її за основу, побудуємо на ній циліндр із твірною d l(Рис. 3.1). На поверхні провідника вектор Еспрямований нормалі до цієї поверхні. Тому потік вектора Ечерез бічну поверхню циліндра через трохи d lдорівнює нулю. Потік цього вектора через нижню основу циліндра, що знаходиться всередині провідника, також дорівнює нулю, оскільки всередині провідника електричне поле відсутнє. Отже, потік вектора Ечерез всю поверхню циліндра дорівнює потоку через його верхню основу d S ": , де Е n - проекція вектора напруженості електричного поля на зовнішню нормаль nдо майданчика d S.

За теореми Гаусса, цей потік дорівнює сумі алгебри електричних зарядів, охоплюваних поверхнею циліндра, віднесеної до твору електричної постійної і відносної діелектричної проникності середовища, навколишнього провідник. Усередині циліндра знаходиться заряд , де поверхнева щільність зарядів. Отже і , Т. Е. Напруженість електричного поля поблизу поверхні зарядженого провідника прямо пропорційна поверхневої щільності електричних зарядів, що знаходяться на цій поверхні.

Експериментальні дослідження розподілу надлишкових зарядів на провідниках різної форми показали, що розподіл зарядів на зовнішній поверхні провідника залежить лише від форми поверхні: що більше кривизна поверхні (що менше радіус кривизни), то більше вписувалося поверхнева щільність заряду.

Поблизу ділянок з малими радіусами кривизни, особливо біля вістря, через високих значеньНапруженість відбувається іонізація газу, наприклад, повітря. В результаті однойменні із зарядом провідника іони рухаються у напрямку від поверхні провідника, а іони протилежного знака до поверхні провідника, що призводить до зменшення заряду провідника. Це явище отримало назву стікання заряду.

На внутрішніх поверхнях замкнутих порожніх провідників надлишкові заряди відсутні.

Якщо заряджений провідник привести в дотик із зовнішньою поверхнею незарядженого провідника, то заряд перерозподілятиметься між провідниками доти, доки їхні потенціали не стануть рівними.

Якщо ж заряджений провідник стосується внутрішньої поверхні порожнистого провідника, то заряд передається порожнистому провіднику повністю.
На закінчення відзначимо ще одне явище, властиве лише провідникам. Якщо незаряджений провідник помістити у зовнішнє електричне поле, його протилежні частини у напрямі поля матимуть заряди протилежних знаків. Якщо, не знімаючи зовнішнього поля, провідник поділити, то розділені частини матимуть різноіменні заряди. Це явище отримало назву електростатичної індукції.

Питання №8

Всі речовини відповідно до їх здатності проводити електричний струм поділяються на провідники, діелектрикиі напівпровідники. Провідниками називають речовини, у яких електрично заряджені частинки - носії заряду- здатні вільно пересуватися по всьому об'єму речовини. До провідників належать метали, розчини солей, кислот та лугів, розплавлені солі, іонізовані гази.
Обмежимо розгляд твердими металевими провідниками, що мають кристалічну структуру. Експерименти показують, що при дуже малій різниці потенціалів, прикладеної до провідника, що містяться в ньому електрони провідності, починають рухатися і переміщуються за обсягом металів практично вільно.
У відсутність зовнішнього електростатичного поля електричні поля позитивних іонів і електронів провідності взаємно компенсовані, так що напруженість внутрішнього результуючого поля дорівнює нулю.
При внесенні металевого провідника до зовнішнього електростатичного поля з напруженістю Е 0на іони та вільні електрони починають діяти кулонівські сили, спрямовані у протилежні сторони. Ці сили викликають усунення заряджених частинок усередині металу, причому в основному зміщуються вільні електрони, а позитивні іони, що знаходяться у вузлах кристалічної решітки, практично не змінюють свого положення. В результаті всередині провідника виникає електричне поле з напруженістю Е ".
Зміщення заряджених частинок усередині провідника припиняється тоді, коли сумарна напруженість поля Еу провіднику, що дорівнює сумі напруженостей зовнішнього та внутрішнього полів, стане рівною нулю:

Представимо вираз, що зв'язує напруженість та потенціал електростатичного поля, у наступному вигляді:

де Е- Напруженість результуючого поля всередині провідника; n- Внутрішня нормаль до поверхні провідника. З рівності нулю результуючої напруженості Еслід, що в межах обсягу провідника потенціал має одне й те саме значення: .
Отримані результати дозволяють зробити три важливі висновки:
1. У всіх точках всередині провідника напруженість поля, тобто весь обсяг провідника еквіпотенційний.
2. При статичному розподілі зарядів за провідником вектор напруженості Ена його поверхні повинен бути спрямований по нормалі до поверхні, інакше під дією дотичної до поверхні провідника компоненти напруженості заряди повинні переміщатися провідником.
3. Поверхня провідника також еквіпотенційна, тому що для будь-якої точки поверхні

Запитання №10

Якщо два провідники мають таку форму, що створюване ними електричне поле зосереджено в обмеженій області простору, то утворена ними система має назву конденсатора, а самі провідники називають обкладкамиконденсатора.
Сферичний конденсатор.Два провідники, що мають форму концентричних сфер з радіусами R 1 та R 2 (R 2 > R 1) утворюють сферичний конденсатор. Використовуючи теорему Гауса, легко показати, що електричне поле існує лише у просторі між сферами. Напруженість цього поля ,

де q- Електричний заряд внутрішньої сфери; - відносна діелектрична проникність середовища, що заповнює простір між обкладками; r- відстань від центру сфер, причому R 1 r R 2 . Різниця потенціалів між обкладками та ємність сферичного конденсатора.

Циліндричний конденсаторявляє собою два провідні коаксіальні циліндри радіусами. R 1 та R 2 (R 2 > R 1). Нехтуючи крайовими ефектами на торцях циліндрів і вважаючи, що простір між обкладками заповнено діелектричним середовищем з відносною проникністю, напруженість поля всередині конденсатора можна знайти за формулою: ,

де q- Заряд внутрішнього циліндра; h- Висота циліндрів (обкладок); r- Відстань від осі циліндрів. Відповідно, різниця потенціалів між обкладками циліндричного конденсатора та його ємність є . .

Плоский конденсатор.Дві плоскі паралельні пластини однакової площі Sрозташовані на відстані dодин від одного, утворюють плоский конденсатор. Якщо простір між пластинами заповнено середовищем із відносною діелектричною проникністю, то при повідомленні їм заряду qнапруженість електричного поля між пластинами дорівнює, різниця потенціалів дорівнює. Таким чином, ємність плоского конденсатора .
Послідовне та паралельне з'єднання конденсаторів.

При послідовне з'єднання nконденсаторів сумарна ємність системи дорівнює

Паралельне з'єднання nконденсаторів утворює систему, електроємність якої можна обчислити так:

Запитання №11

Енергія зарядженого провідника.Поверхня провідника є еквіпотенційною. Тому потенціали тих точок, у яких знаходяться точкові заряди d q, однакові та рівні потенціалу провідника. Заряд q, що знаходиться на провіднику, можна розглядати як систему точкових зарядів d q. Тоді енергія зарядженого провідника

Взявши до уваги визначення ємності, можна записати

Будь-який із цих виразів визначає енергію зарядженого провідника.
Енергія зарядженого конденсатора.Нехай потенціал обкладання конденсатора, на якій знаходиться заряд + q, дорівнює , а потенціал обкладки, на якій знаходиться заряд - q, дорівнює. Енергія такої системи

Енергію зарядженого конденсатора можна у вигляді

Енергія електричного поля.Енергію зарядженого конденсатора можна виразити через величини, що характеризують електричне поле в зазор між обкладками. Зробимо це з прикладу плоского конденсатора. Підстановка виразу для ємності у формулу для енергії конденсатора дає

Приватне U / dдорівнює напруженості поля в зазорі; твір S· dє обсягом Vзаймає поле. Отже,

Якщо поле однорідне (що має місце в плоскому конденсаторі на відстані dнабагато меншому, ніж лінійні розміри обкладок), то укладена в ньому енергія розподіляється у просторі з постійною щільністю w. Тоді об'ємна щільність енергіїелектричного поля дорівнює

З урахуванням співвідношення можна записати

В ізотропному діелектрику напрямки векторів Dі Eзбігаються і
Підставимо вираз, отримаємо

Перший доданок у цьому виразі збігається із щільністю енергії поля у вакуумі. Другий доданок є енергією, що витрачається на поляризацію діелектрика. Покажемо це з прикладу неполярного діелектрика. Поляризація неполярного діелектрика полягає в тому, що заряди, що входять до складу молекул, зміщуються зі своїх положень під дією електричного поля. Е. У розрахунку на одиницю обсягу діелектрика робота, що витрачається на усунення зарядів q i на величину d r i , складає

Вираз у дужках є дипольним моментом одиниці об'єму або поляризованістю діелектрика. Р. Отже, .
Вектор Pпов'язаний з вектором Eспіввідношенням. Підставивши цей вираз у формулу для роботи, отримаємо

Провівши інтегрування, визначимо роботу, що витрачається на поляризацію одиниці об'єму діелектрика.

Знаючи густину енергії поля в кожній точці, можна знайти енергію поля, укладеного в будь-якому обсязі V. Для цього потрібно обчислити інтеграл:

Щільність енергії електростатичного поля

Використовуючи (66), (50), (53), перетворимо формулу енергії конденсатора наступним чином: , де - обсяг конденсатора. Розділимо останній вираз на: . Розмір має сенс щільності енергії електростатичного поля.

Запитання №12

Діелектрик, поміщений у зовнішнє електричне поле, поляризуєтьсяпід впливом цього поля. Поляризацією діелектрика називається процес придбання їм відмінного від нуля макроскопічного дипольного моменту.

Ступінь поляризації діелектрика характеризується векторною величиною, яка називається поляризованістюабо вектор поляризації (P). Поляризованість визначається як електричний момент одиниці об'єму діелектрика,

де N- Число молекул в обсязі. Поляризованість Pчасто називають поляризацією, розуміючи під цим кількісний захід цього процесу.

У діелектриках розрізняють такі типи поляризації: електронну, орієнтаційну та ґратову (для іонних кристалів).
Електронний тип поляризаціїхарактерний для діелектриків із неполярними молекулами. У зовнішньому електричному полі позитивні зарядивсередині молекули зміщуються у напрямку поля, а негативні у протилежному напрямку, внаслідок чого молекули набувають дипольного моменту, спрямованого вздовж зовнішнього поля

Індукований дипольний момент молекули пропорційний напруженості зовнішнього електричного поля , де - Поляризованість молекули. Значення поляризованості в цьому випадку дорівнює де n- Концентрація молекул; - індукований дипольний момент молекули, однаковий всім молекул і напрям якого збігається з напрямом зовнішнього поля.
Орієнтаційний тип поляризаціїхарактерний для полярних діелектриків. За відсутності зовнішнього електричного поля молекулярні диполі орієнтовані випадковим чином, тому макроскопічний електричний момент діелектрика дорівнює нулю.

Якщо помістити такий діелектрик у зовнішнє електричне поле, то на молекулу-диполь діятиме момент сил (рис. 2.2), що прагне орієнтувати її дипольний момент у напрямку напруженості поля. Проте повної орієнтації немає, оскільки тепловий рух прагне зруйнувати дію зовнішнього електричного поля.

Така поляризація називається орієнтаційною. Поляризованість у цьому випадку дорівнює де<p> - середнє значення складової дипольного моменту молекули у бік зовнішнього поля.
Гратковий тип поляризаціїхарактерний для іонних кристалів. В іонних кристалах (NaCl і т.д.) без зовнішнього поля дипольний момент кожного елементарного осередку дорівнює нулю (рис. 2.3.а), під впливом зовнішнього електричного поля позитивні і негативні іони зміщуються в протилежні сторони (рис. 2.3.б) . Кожен осередок кристала стає диполем, кристал поляризується. Така поляризація називається решіткової. Поляризованість і в цьому випадку можна визначити як , де значення дипольного моменту елементарного осередку, n- Число осередків в одиниці обсягу.

Поляризованість ізотропних діелектриків будь-якого типу пов'язана з напруженістю поля співвідношенням , де - діелектрична сприйнятливістьдіелектрика.

Запитання №13

Поляризованість середовища має примітну властивість: потік вектора поляризованості середовища через довільну замкнуту поверхню чисельно дорівнює величині некомпенсованих "пов'язаних" зарядів усередині цієї поверхні, взятої зі зворотним знаком:

(1). У локальному формулюванні описувана властивість описується співвідношенням

(2) де - об'ємна щільність "пов'язаних" зарядів. Ці співвідношення називають теоремою Гауса для поляризованості середовища (вектора поляризації) в інтегральній та диференційній формах відповідно. Якщо теорема Гауса для напруженості електричного поля є наслідком закону Кулона в "польовий" формі, теорема Гауса для поляризованості є наслідком визначення цієї величини.

Доведемо співвідношення (1), тоді співвідношення (2) виявиться справедливим через математичну теорему Остроградського-Гаусса.

Розглянемо діелектрик із неполярних молекул з об'ємною концентрацією останніх, що дорівнює . Вважаємо, що під дією електричного поля позитивні заряди змістилися з положення рівноваги на величину, а негативні – на величину. Кожна молекула набула електричного моменту. , а одиничний обсяг набув електричного моменту . Розглянемо довільну досить гладку замкнуту поверхню в описуваному діелектрику. Припустимо, що поверхня проведена так, що відсутність електричного поля вона "не перетинає" окремі диполі, тобто позитивний і негативний заряди, пов'язані з молекулярною структурою речовини, "компенсують" один одного.

Зауважимо, до речі, що співвідношення (1) і (2) при задовольняються тотожно.

Під дією електричного поля елемент площі поверхні перетнуть позитивні заряди з об'єму в кількості. Для негативних зарядів маємо відповідно величини та . Сумарний заряд, що перейшов на "зовнішню" сторону елемента площі поверхні (нагадаємо, що - зовнішня нормаль щодо охоплюваного поверхнею обсягу) дорівнює

Властивості вектора поляризованості середовища

Проінтегрувавши отриманий вираз по замкнутій поверхні отримаємо величину сумарного електричного заряду, що залишив аналізований обсяг. Останнє дозволяє укласти, що в обсязі, що розглядається, залишився некомпенсований заряд - , рівний по модулю заряду, що пішов. У результаті маємо: , таким чином, теорема Гауса для векторного поля в інтегральному формулюванні доведена.

Щоб розглянути випадок речовини, що складається з полярних молекул, достатньо в наведених вище міркуваннях величину замінити на її середнє значення.

Доказ справедливості співвідношення (1) вважатимуться закінченим.

Питання №14

У діелектричному середовищі можуть бути електричні заряди двох типів: "вільні" і "пов'язані". Перші їх пов'язані з молекулярної структурою речовини і, зазвичай, можуть щодо вільно переміщатися у просторі. Другі пов'язані з молекулярною структурою речовини і під впливом електричного поля можуть зміщуватися з положення рівноваги, зазвичай, дуже малі відстані.

Використання безпосередньо теореми Гауса для векторного поля при описі діелектричного середовища незручно тим, що права частина формули

(1), містить як величину "вільного", так і величину "пов'язаного" (некомпенсованого) зарядів усередині замкнутої поверхні.

Якщо співвідношення (1) почленно скласти із співвідношенням , отримаємо , (2)

де - сумарний "вільний" заряд об'єму, що охоплюється замкненою поверхнею. Співвідношення (2) зумовлює доцільність запровадження спеціального вектора

Як зручна розрахункова величина, що характеризує електричне поле в діелектричному середовищі. Вектор раніше називали вектором електричної індукції або вектором електричного усунення. В даний час входить у вжиток термін "вектор". Для векторного поля справедлива інтегральна форма теореми Гауса: і, відповідно, диференціальна форма теореми Гауса:

де – об'ємна щільність вільних зарядів.

Якщо справедливе співвідношення (для жорстких електретів воно не справедливе), то для вектора визначення (3) слід ,

де - Діелектрична проникність середовища, одна з найважливіших електричних характеристик речовини. У електростатиці та квазістаціонарній електродинаміці величина є дійсною. При розгляді високочастотних коливальних процесів фаза коливання вектора, а значить і вектора, може не збігатися з фазою коливань вектора, у таких випадках величина стає комплекснозначною величиною.

Розглянемо питання, за яких умов у діелектричному середовищі можлива поява некомпенсованої об'ємної густини пов'язаних зарядів. Для цієї мети запишемо вираз вектора поляризації через діелектричну проникність середовища та вектор:

У справедливості якого легко переконатись. Тепер величина, що представляє інтерес, може бути обчислена:

(3)

За відсутності в діелектричному середовищі об'ємної щільності вільних зарядів величина може звернутися в нуль, якщо

а) відсутня поле; або б) середовище однорідне або в) вектори і - ортогональні. У випадку необхідно обчислити величину по співвідношенням (3).

Запитання №17

Розглянемо поведінку векторів Eі Dна межі поділу двох однорідних ізотропних діелектриків з проникностями та за відсутності на кордоні вільних зарядів.
Граничні умови для нормальних складових векторів D та Eвипливають з теореми Гауса. Виділимо поблизу межі розділу замкнуту поверхню у вигляді циліндра, що утворює якого перпендикулярна до межі розділу, а основи знаходяться на рівній відстані від кордону.

Так як на межі розділу діелектриків немає вільних зарядів, то, відповідно до теорії Гауса, потік вектора електричної індукції через цю поверхню

Виділяючи потоки через основи та бічну поверхню циліндра

де - значення дотичної складової усереднене по бічній поверхні. Переходячи до межі при (при цьому також прагне нуля), отримуємо , або остаточно нормальних складових вектора електричної індукції . Для нормальних складових вектора напруженості поля отримаємо . Таким чином, при переході через кордон розділу діелектричних середовищ нормальна складова вектора терпить розрив, а нормальна складова вектора безперервна.
Граничні умови для дотичних складових векторів D та Eвипливають із співвідношення, що описує циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Побудуємо поблизу межі розділу прямокутний замкнутий контур довжини lта висоти h. Враховуючи, що для електростатичного поля і обходячи контур за годинниковою стрілкою, представимо циркуляцію вектора Eу наступному вигляді: ,

де – середнє значення E nна бокових сторонах прямокутника. Переходячи до межі при , отримаємо для дотичних складових E .

Для дотичних складових вектора електричної індукції гранична умова має вигляд

Таким чином, при переході через кордон розділу діелектричних середовищ дотична складова вектора безперервна, а дотична складова вектора терпить розрив.
Заломлення ліній електричного поля.З граничних умов для відповідних складових векторів Eі Dслід, що з переході через межу розділу двох діелектричних середовищ лінії цих векторів заломлюються (рис. 2.8). Розкладемо вектори E 1і E 2у межі поділу на нормальні та тангенціальні складові та визначимо зв'язок між кутами та за умови. Легко бачити, що як для напруженості поля, так і для індукції справедливий той самий закон заломлення ліній напруженості та ліній зміщення

.
При переході в середу з меншим значенням кут, що утворюється лініями напруженості (зміщення) з нормаллю, зменшується, отже, лінії розташовуються рідше. При переході в середу з більшою лінією векторів Eі D, навпаки, згущуються і віддаляються від нормалі.

Питання №6

Теорема про єдиність розв'язання задач електростатики (задані розташування провідників та їх заряди).

Якщо задано розташування провідників у просторі та повний заряд кожного з провідників, то вектор напруженості електростатичного поля у кожній точці визначається єдиним чином. Док-во: (від неприємного)

Нехай заряд на провідниках розподілено так:

Припустимо, що можливе не тільки таке, а й відмінне від нього розподіл зарядів:

(тобто відрізняється як завгодно мало хоча б на одному провіднику)

Отже хоча у одній точці простору знайдеться інший вектор E, тобто. поблизу нових значень густини принаймні в якихось точках E буде чудово. Т.о. при тих самих початкових умовах, при тих же провідниках отримаємо інше рішення. Тепер змінимо знак заряду на протилежний.

(міняти знак треба відразу на всіх провідниках)

Вид силових ліній при цьому не зміниться (не суперечить ні теоремі Гаусса, ні теоремі про циркуляцію), зміниться тільки їх напрямок та вектор E.

Тепер візьмемо суперпозицію зарядів (комбінацію двох варіантів зарядів):

(Тобто накладемо один заряд на інший, і зарядимо вже третім способом)

Якщо не збігається хоча б десь із , то хоча б в одному місці отримаємо якесь

3) відводимо лінії в нескінченність, не замикаючи їх на провіднику. при цьому замкнутий контур L замикаємо на нескінченності. Але і в цьому випадку обхід силової лінії не дасть нульової циркуляції.

Висновок: отже може бути будь-якої відмінної нуля, отже розподіл зарядів встановлено єдиним чином -> єдиність рішення, тобто. E – знаходимо єдиним чином.

Питання №7

Квиток 7. Теорема про єдиність розв'язання задач електростатики. (задані розташування провідників та їх потенціали).Якщо встановлено розташування провідників і потенціал кожного з них, то напруженість електростатичного поля в кожній точці знаходиться єдиним чином.

(Берклеївський курс)

Усюди поза провідником функція повинна задовольняти диференціальне рівняння у приватних похідних: , або, інакше, (2)

Очевидно, що W не задовольняє граничні умови. У поверхні кожного провідника функція W дорівнює нулю, оскільки приймають однакове значення біля поверхні провідника. Отже W є рішенням іншого електростатичного завдання, з тими ж провідниками, але за умови, що всі провідники мають нульовий потенціал. Якщо це так, можна стверджувати, що функція W дорівнює нулю у всіх точках простору. Якщо це не так, то вона повинна мати десь максимум чи мінімум. Шлях W має екстремум у точці P, розглянемо тоді кулю із центром у цій точці. Нам відомо, що середнє значення у сфері функції, що задовольняє рівняння Лапласа, дорівнює значенню функції в центрі. Це несправедливо, якщо центр є максимум або мінімум цієї функції. Таким чином, W не може мати максимуму або мінімуму, вона всюди повинна дорівнювати нулю. Звідси випливає, що =

Запитання №28

Трм. про циркуляцію в-ра I.

I – вектор намагніченості. I = = N p 1 м = N n i 1 S\c

DV = Sdl cosα; di мол = i 1 мол NSdl cosα = cIdl cosα, N - число мол-л на 1см 3 . Поблизу контуру вважаємо речовину однорідною, тобто всі диполі, всі молекули мають однаковий магнітний момент. Для підрахунку візьмемо молекулу, дро якої розташовано прямо на контурі dl. Треба порахувати, скільки атомів перетнуть циліндрик 1 раз => Це такі, чиї центри лежать усередині цього уяву циліндра. Таким чином нас цікавить лише i мовляв – тобто. струм, що перетинає поверхню, що спирається на контур.

Питання №9

Якщо провідник помістити в зовнішнє електростатичне поле, воно буде діяти на його заряди, які почнуть переміщатися. Цей процес протікає дуже швидко, після його завершення встановлюється рівноважний розподіл зарядів, при якому електростатичне поле всередині провідника виявляється рівним нулю. З іншого боку, відсутність поля всередині провідника говорить про те саме значення потенціалу в будь-якій точці провідника, а також про те, що вектор напруженості поля на зовнішній поверхні провідника перпендикулярний їй. Якби це було не так, з'явилася б складова вектора напруженості, спрямована по дотичній поверхні провідника, що викликало б переміщення зарядів, і рівноважний розподіл зарядів порушилося б.

Якщо ми зарядимо провідник, що знаходиться в електростатичному полі, то заряди у нього будуть розташовуватися тільки на зовнішній поверхні, оскільки, відповідно до теорії Гауса, через рівність нуля напруженості поля всередині провідника нулю буде дорівнює інтеграл від вектора електричного зміщення D по замкнутій поверхні, що збігається із зовнішньою поверхнею провідника, який, як було встановлено раніше, повинен дорівнювати заряду всередині названої поверхні, тобто нулю. При цьому виникає питання про те, чи можемо ми повідомити такого провідника будь-який, скільки завгодно великий заряд, Щоб отримати відповідь на це питання, знайдемо зв'язок між поверхневою щільністю заряду і напруженістю зовнішнього електростатичного поля.

Виберемо нескінченно малий циліндр, що перетинає кордон «провідник – повітря» так, щоб його вісь була орієнтована вздовж вектора Е . Застосуємо до цього циліндра теорему Гауса. Зрозуміло, що потік вектора електричного зміщення вздовж бічної поверхні циліндра дорівнюватиме нулю через рівність нулю напруженості поля всередині провідника. Тому повний потік вектора D через замкнуту поверхню циліндра дорівнюватиме лише потоку через його основу. Цей потік, рівний добутку D∆S, де ∆S– площа основи, що дорівнює сумарному заряду σ∆Sвсередині поверхні. Іншими словами, D∆S = σ∆Sзвідки випливає, що

D = σ, (3.1.43)

тоді напруженість електростатичного поля біля поверхні провідника

E = σ /(ε 0 ε) , (3.1.44)

де ε – діелектрична проникність середовища (повітря), що оточує провідник.

Оскільки поле всередині зарядженого провідника відсутня, створення всередині нього порожнини нічого не змінить, тобто не вплине на конфігурацію розташування зарядів на його поверхні. Якщо тепер провідник з такою порожниною заземлити, то потенціал у всіх точках порожнини дорівнюватиме нулю. На цьому ґрунтується електростатичний захиствимірювальних приладів впливу зовнішніх електростатичних полів.

Тепер розглянемо провідник віддалений від інших провідників, інших зарядів і тіл. Як було встановлено раніше, потенціал провідника пропорційний його заряду. Досвідченим шляхом було встановлено, що провідники, виготовлені з різних матеріалів, будучи зарядженими до одного і того ж заряду, мають різні потенціали φ . І навпаки, у провідників із різних матеріалів, що мають однаковий потенціал, розрізняються заряди. Тому ми можемо записати, що Q = Cφ,де

C = Q/φ (3.1.45)

називається електроємністю(або просто ємністю) відокремленого провідника. Одиницею виміру електроємності є фарад (Ф), 1 Ф – ємність такого відокремленого провідника, потенціал якого змінюється на 1 У при повідомленні йому заряду, що дорівнює 1 Кл.

Оскільки, як було встановлено раніше, потенціал кулі радіусу Rу діелектричному середовищі з діелектричною проникністю ε

φ =(1/4πε 0)Q/εR, (3.1.46)

то з урахуванням 3.1.45 для ємності кулі отримаємо вираз

C = 4πε 0 εR. (3.1.47)

З 3.1.47 випливає, що ємністю 1 Ф мав би кулю у вакуумі і має радіус порядку 9*10 9 км, що в 1400 разів перевищує радіус Землі. Це свідчить, що 1 Ф – це дуже велика електроємність. Місткість Землі, наприклад, всього близько 0.7 мФ. Тому на практиці користуються міліфарадами (мФ), мікрофарадами (мкФ), нанофарадами (нФ) і навіть пікофарадами (пФ). Далі, оскільки ε - безрозмірна величина, то з 3.1.47 отримуємо, що розмірність електричної постійної ε 0 - Ф/м.

Вираз 3.1.47 говорить про те, що провідник може мати велику ємність тільки при дуже великих розмірах. У практичній діяльності потрібні пристрої, які при невеликих розмірах були б здатні накопичувати великі заряди при порівняно невеликих потенціалах, тобто мали б великі ємності. Такі пристрої називаються конденсаторами.

Ми вже говорили про те, що, якщо до зарядженого провідника наближати провідник або діелектрик, на них наводитимуться заряди так, що на найближчій до зарядженого провідника стороні тіла, що приноситься, виникнуть заряди протилежного знака. Такі заряди послаблюватимуть те поле, яке створюється зарядженим провідником, і це знижуватиме його потенціал. Тоді відповідно до 3.1.45 ми можемо говорити про збільшення ємності зарядженого провідника. На такій основі таки створюють конденсатори.

Зазвичай конденсаторскладається з двох металевих обкладок, розділених діелектриком. Його конструкція має бути такою, щоб поле було зосереджено лише між обкладками. Цій вимогі задовольняють дві плоскі пластини, два коаксіальні(мають одну й ту саму вісь) циліндрарізного діаметру та дві концентричні сфери. Тому конденсатори, побудовані на таких обкладках, називаються плоскими, циліндричнимиі сферичними. У повсякденній практиці найчастіше використовують два перші типи конденсаторів.

Під ємністю конденсаторарозуміють фізичну величину З , яка дорівнює відношенню заряду Q, накопиченого в конденсаторі, до різниці потенціалів ( φ 1 – φ 2), тобто.

C = Q/(φ 1 – φ 2). (3.1.48)

Знайдемо ємність плоского конденсатора, що складається з двох пластин площею S, віддалених один від одного на відстань dта мають заряди +Qі -Q. Якщо d мало порівняно з лінійними розмірами пластин, то крайовими ефектами можна знехтувати і вважати полі між однорідним обкладками. Оскільки Q = σS, а, як було показано раніше, різниця потенціалів між двома різноіменно зарядженими пластинами з діелектриком між ними φ 1 – φ 2 = (σ/ε 0 ε)d,то після підстановки цього виразу в 3.1.48 отримуємо

C= ε 0 εS/d. (3.1.49)

Для циліндричного конденсатора завдовжки lта радіусами циліндрів r 1і r 2

C = 2πε 0 εl/ln(r 2 /r 1). (3.1.50)

З виразів 3.1.49 та 3.1.50 добре видно, як можна збільшити ємність конденсатора. Насамперед для заповнення простору між обкладками слід використовувати матеріали з максимально великою діелектричною проникністю. Іншим очевидним способом підвищення ємності конденсатора є зменшення відстані між обкладками, проте цей спосіб має важливий обмежувач – пробій діелектрика, Т. е. електричний розряд через шар діелектрика. Різниця потенціалів, при якій спостерігається електричний пробій конденсатора, називається пробивною напругою. До кожного типу діелектрика ця величина своя. Що ж до збільшення площі пластин плоского і довжини циліндричного конденсаторів збільшення їх ємності, завжди існують суто практичні обмеження розмірів конденсаторів, найчастіше це розміри всього приладу, куди входить конденсатор чи конденсатори.

Для того щоб була можливість збільшувати або зменшувати ємність, практично широко використовується паралельне або послідовне з'єднання конденсаторів. При паралельному з'єднанні конденсаторів різниця потенціалів на обкладинках конденсаторів одна і та ж і дорівнює φ 1 – φ 2, а заряди на них дорівнюватимуть Q 1 = C 1 (φ 1 - φ 2), Q 2 = C 2 (φ 1 - φ 2), … Q n = C n (φ 1 - φ 2)тому повний заряд батареї з конденсаторів Qдорівнюватиме сумі перерахованих зарядів ∑Q i, яка у свою чергу дорівнює добутку різниці потенціалів (φ 1 – φ 2)на повну ємність С = ∑C i. Тоді для повної ємності конденсаторної батареї ми отримуємо

C = Q/(φ 1 – φ 2). (3.1.51)

Іншими словами, при паралельному з'єднанні конденсаторів повна ємність конденсаторної батареї дорівнює сумі ємностей окремих конденсаторів.

При послідовному з'єднанні конденсаторів заряди на обкладках дорівнюють модулю, а повна різниця потенціалів ∆ φ батареї дорівнює сумі різниць потенціалів ∆ φ 1на затискачі окремих конденсаторів. Бо для кожного конденсатора ∆ φ 1 = Q/C i, то ∆ φ = Q/C =Q ∑(1/C i), звідки отримуємо

1/C = ∑(1/C i). (3.1.52)

Вираз 3.1.52 означає, що при послідовному з'єднанні конденсаторів батарею підсумовуються величини, зворотні ємностям окремих конденсаторів, при цьому сумарна ємність виявляється меншою за найменшу ємність.

Ми вже говорили про те, що електростатичне поле є потенційним. Це означає, що будь-який заряд у такому полі має потенційною енергією. Нехай є провідник у полі, для якого відомий заряд Q, ємність Cта потенціал φ , і нехай нам необхідно збільшити його заряд на dQ. Для цього треба здійснити роботу dA = φdQ = Сφdφщодо перенесення цього заряду з нескінченності на провідник. Якщо ж нам треба зарядити тіло від нульового потенціалу до φ , то доведеться здійснити роботу, яка дорівнює інтегралу від Сφdφу зазначених межах. Зрозуміло, що інтегрування дасть наступне рівняння

А = Сφ 2/2. (3.1.53)

Ця робота йде підвищення енергії провідника. Тому для енергії провідника в електростатичному полі можна записати

W = Сφ 2 /2 = Q φ/2 = Q 2 /(2C). (3.1.54)

Конденсатор, як і провідник, теж має енергію, яка може бути обчислена за такою формулою 3.1.55

W = С(∆φ) 2 /2 = Q∆φ/2 = Q 2 /(2C), (3.1.55)

де ∆φ – різницю потенціалів між обкладками конденсатора, Q- Його заряд, а З- Місткість.

Підставимо в 3.1.55 вираз для ємності 3.1.49 ( C= ε 0 εS/d) і врахуємо, що різниця потенціалів ∆φ = Ed, отримаємо

W = (ε 0 εS/d)(Ed 2)/2 = ε 0 εE 2 V/2, (3.1.56)

де V = Sd. Рівняння 3.1.56 показує, що енергія конденсатора визначається напругою електростатичного поля. З рівняння 3.1.56 можна одержати вираз для об'ємної щільності електростатичного поля

w = W/V = ε 0 εE 2 /2. (3.1.57)

Контрольні питання

1. Де розташовуються електричні заряди у зарядженого провідника?

2. Чому дорівнює напруженість електростатичного поля всередині зарядженого провідника?

3. Від чого залежить напруженість електростатичного поля на поверхні зарядженого провідника?

4. Як забезпечується захист приладів від зовнішніх електростатичних перешкод?

5. Що таке електроємність провідника та яка одиниця її вимірювання?

6. Які пристрої називаються конденсаторами? Які існують типи конденсаторів?

7. Що розуміють під ємністю конденсатора?

8. Які способи збільшення ємності конденсатора?

9. Що таке пробій конденсатора та пробивна напруга?

10. Як обчислюється ємність конденсаторної батареї при паралельному з'єднанні конденсаторів?

11. Чому дорівнює ємність конденсаторної батареї при послідовному з'єднанні конденсаторів?

12. Як обчислюється енергія конденсатора?

У разі дійсних величин об'ємна густина енергії електромагнітного поля визначається виразом:

Якщо розглядати вектори та як вектори з комплексними складовими, то для отримання дійсного виразу для об'ємної щільності енергії електромагнітного поля необхідно скористатися описаним вище прийомом:

Вираз (8) визначає «миттєве» значення об'ємної щільності електромагнітної енергії в точці простору, що розглядається, тобто. значення у певний момент часу t. Залежність (8) є практично сумою квадратів дійсних величин і тому є позитивно певною залежністю. Її чисельні значення можуть змінюватися від нуля до певної максимальної величини. Цікавим є обчислення середньої за часом величини об'ємної щільності енергії електромагнітного поля плоскої хвилі. Середня за часом фізична величина визначається за правилом:

. (9)

Для гармонійних у часі процесів величину вибирають рівною періоду коливань, а початок відліку вибирають рівним нулю.

Легко бачити, що мають місце співвідношення:

;

; (10)

.

Аналогічні результати справедливі й у векторів напруженості магнітного поля.

З урахуванням отриманих результатів середня за часом величина об'ємної щільності енергії електромагнітного поля в точці простору, що розглядається, може бути описана залежністю

Вираз (11) є локальним, дійсним та позитивно визначеним. З його допомогою можна обчислити енергію електромагнітного поля в деякій галузі простору:

, (12)

де енергія електричного поля та енергія магнітного поля визначені співвідношеннями

, . (13)

Інтегрування у співвідношеннях (13) проводиться за обсягом області простору, що розглядається. Ці вирази нижче будуть використані для аналізу балансових енергетичних співвідношень.

Вектор Умова-Пойнтінга.

Щільність потоку енергії електромагнітного поля, як відомо, визначається виразом

При необхідності використовувати результати методу комплексних амплітуд дійсний (речовий) вираз для вектора записують у вигляді:

Оцінюючи векторні твори у співвідношенні (15), отримуємо:

;

.

.

В результаті опосередкування часу залежності (15) для миттєвого значення вектора щільності потоку енергії приходимо до співвідношення:

. (16)

Таким чином, одержують постійну у часі векторну величину з речовими компонентами. Цікаво, що формально - отриманий вираз є дійсною частиною комплексного виразу

Це породжує можливість ввести на розгляд «комплексний вектор Умова-Пойнтінга»:

. (18)

Обґрунтуванням доцільності такого прийому є співвідношення:

Фізичний зміст співвідношення (19) полягає в тому, що середнє за часом від вектора щільності потоку енергії електромагнітного поля в гармонійному наближенні (речова постійна векторна величина!) може бути обчислено як дійсна частина комплексного вектора Умова-Пойнтінг.

Об'ємна щільність потужності.

Для дійсних величин об'ємна щільність потужності обчислюється за виразом

Вираз (20) - добуток двох гармонійних величин - є нелінійним, тому для отримання дійсної величини в методі комплексних амплітуд потрібно виходити із співвідношення:

Залежність (21) визначає дійсне (речове) значення об'ємної густини потужності у довільний момент часу. Оскільки аналізована величина осцилює в часі, можна ввести середню за часом величину об'ємної щільності потужності аналогічно тому, як це було зроблено вище при розгляді об'ємної щільності енергії:

Аналіз виразу (22) показує, що можна запровадити комплексну щільність потужності

оскільки легко перевіряється співвідношення

. (24)

Тепер можна розпочати розгляд балансових енергетичних співвідношень у неоднорідній плоскій електромагнітній гармонійній хвилі.

Комплексний аналог теореми Пойнтінга.

Рівняння Максвелла – рівняння електромагнітної індукції та рівняння повного струму у диференційній формі – запишемо з використанням гармонійного наближення:

Зауважимо, що рівняння (25)-(26) справедливі, якщо форму залежності гармонійних величин від часу визначено співвідношеннями (6).

Якщо , то має місце оскільки з першого рівняння випливає і . Тобто, якщо справедливо лінійне рівняння для комплексної величини, то справедливо і комплексно сполучене рівняння. Скористаємося цим математичним твердженням та запишемо рівняння (26) у комплексно сполученій формі:

Помножимо рівняння (25) скалярно на вектор, а рівняння (27) – на вектор:

Віднімемо з рівняння (28) рівняння (29):

Ліва частина рівняння (30) може бути перетворена:

У принципі, тут використано відоме векторне тотожність, його можна перевірити безпосереднім обчисленням в системі декарт координат, а можна скористатися символічним методом і визначенням диференціального векторного оператора «набла» (або оператора Гамільтона) . Продемонструємо цей метод. Розглянемо дивергенцію векторного добутку двох векторних полів:

.

Для того, щоб можна було користуватися позначенням як просто векторною величиною, перепишемо попереднє співвідношення з урахуванням диференціального характеру оператора набла:

де індексом "с" позначені умовно постійні величини, їх можна "виносити" за символ диференціального оператора. Тепер отриманий вираз можна розглядати як суму двох змішаних творів трьох векторів. Відомо, що змішаний добуток трьох векторів може бути записано в декількох еквівалентних формах. Нам необхідно вибрати таку форму, щоб «вектор» не залишався у крайній правій позиції: як диференціальний оператор він має на щось діяти.